Algoritmo de Zhao Youqin para π

O algoritmo de Zhao Youqin para π foi um algoritmo criado pelo astrônomo e matemático chinês da Dinastia Yuan Zhao Youqin (赵友钦, ? – 1330) para calcular o valor de π em seu livro Ge Xiang Xin Shu (革象新书).

Zhao Youqin começou com um quadrado inscrito em um círculo com raio r.^[1]

Se ${\displaystyle \ell }$ denota o comprimento de um lado do quadrado, desenhe uma linha perpendicular d do centro do círculo ao lado l. Seja e por definição r − d. Então do diagrama

${\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle e=r-d=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}.}$

Estenda a linha perpendicular d para dividir o círculo em um octógono; ${\displaystyle \ell _{2}}$ denota o comprimento de um lado do octógono.

${\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}+e^{2}}}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell ^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell ^{2}}}\right)^{2}}}}$

Seja ${\displaystyle l_{3}}$ o comprimento de um lado do hexadecágono

${\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{2}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{2}^{2}}}\right)^{2}}}}$

similarmente

${\displaystyle \ell _{n+1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{n}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{n}^{2}}}\right)^{2}}}}$

Procedendo desta forma Zhao Youqin calculou o lado de um 16384-gono, multiplicando-o por 16384 para obter 3141,592 para um círculo com diâmetro = 1000 unidades, ou

${\displaystyle \pi =3.141592\,.}$

Zhao Youqin multiplicou este número por 113 e obteve 355. Deduziu deste número que dos valores tradicionais de π, 3, 3,14, ⁠22/7⁠ e ⁠355/113⁠, o último é o mais preciso.^[2]

Referências

• Algoritmo de Liu Hui para π