Vetor tangente

Na matemática, um vetor tangente é um vetor que é tangente a uma curva ou superfície em um dado ponto. Vetores tangentes são descritos na geometria diferencial de curvas no contexto de curvas em Rⁿ. Mais geralmente, vetores tangentes são elementos de um espaço tangente de uma variedade diferenciável. Vetores tangentes também podem ser descritos em termos de germes. Formalmente, um vetor tangente no ponto ${\displaystyle x}$ é uma derivação linear da álgebra definida pelo conjunto de germes em ${\displaystyle x}$.

Antes de prosseguir com uma definição geral de vetor tangente, discutimos seu uso em cálculo e suas propriedades tensoriais.

Seja ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ uma curva suave paramétrica. O vetor tangente é dado por ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)}$ desde que exista e desde que ${\displaystyle \mathbf {r} '(t)\neq \mathbf {0} }$, onde usamos uma plica em vez do ponto usual para indicar diferenciação em relação ao parâmetro t.^[1] O vetor tangente unitário é dado por $${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.}$$

Dada a curva $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$$ em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, o vetor tangente unitário em ${\displaystyle t=0}$ é dado por $${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\operatorname {sen} {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\operatorname {sen} ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$$ Onde os componentes do vetor tangente são encontrados tomando a derivada de cada componente correspondente da curva em relação a ${\displaystyle t}$.

Se ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é dado parametricamente no sistema de coordenadas n-dimensional xⁱ (aqui usamos sobrescritos como índice em vez do subscrito usual) por ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ ou $${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$$ então o campo vetorial tangente ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ é dado por $${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$$ Sob uma mudança de coordenadas $${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$$ o vetor tangente ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ no sistema de coordenadas uⁱ é dado por $${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$$ onde usamos a convenção de soma de Einstein. Portanto, um vetor tangente de uma curva suave se transformará em um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas.^[2]

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ uma função diferenciável e seja ${\displaystyle \mathbf {v} }$ um vetor em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Definimos a derivada direcional na direção ${\displaystyle \mathbf {v} }$ em um ponto ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ por $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$$ O vetor tangente no ponto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ pode então ser definido^[3] como $${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.}$$

Sejam ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ funções diferenciáveis, sejam ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ vetores tangentes em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ em ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, e sejam ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$. Então

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$

Seja ${\displaystyle M}$ uma variedade diferenciável e seja ${\displaystyle A(M)}$ a álgebra de funções diferenciáveis de valor real em ${\displaystyle M}$. Então, o vetor tangente a ${\displaystyle M}$ em um ponto ${\displaystyle x}$ na variedade é dado pela derivação ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ que deve ser linear — ou seja, para qualquer ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ e ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, temos

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Observe que a derivação terá, por definição, a propriedade de Leibniz

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

• Curva diferenciável § Vetor tangente

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press .
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole .
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill .