Variação total

Em análise matemática, define-se a variação total de uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ em um intervalo ${\displaystyle [a,b]\subseteq D\,}$ como:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\sup \sum _{i}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}$

As variações positiva e negativa de uma função ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ em um intervalo ${\displaystyle [a,b]\subseteq D\,}$ são definidas, respectivamente, como:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)=\sup \sum _{(+)}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}$

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=\sup \sum _{(-)}-\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,}$

Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \,}$ do intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$, ${\displaystyle (+)}$ significa para todo ${\displaystyle i}$ tal que ${\displaystyle f(x_{i})\geq f(x_{i-1})}$ e ${\displaystyle (-)}$ significa para todo ${\displaystyle i}$ tal que ${\displaystyle f(x_{i})\leq f(x_{i-1})}$.

1. Se ${\displaystyle f\,}$ é um função monótona, então:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,}$

2. Se ${\displaystyle f\,}$ uma função real, então:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)\geq {\hbox{var}}_{[c,d]}(f)\,}$, sempre que ${\displaystyle a\leq c\leq d\leq b\,}$.

3. Se ${\displaystyle f\,}$ e ${\displaystyle g\,}$ são funções reais, vale

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[a,b]}(g)\,}$,

4. Se ${\displaystyle f\,}$ uma função real, então:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{[a,b]}(f),~~\forall ~\alpha \in \mathbb {R} \,}$,

5. Se ${\displaystyle f\,}$ uma função real, então:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,c]}(f)={\hbox{var}}_{[c,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[b,c]}(f),~~\forall ~c\in [a,b]\,}$,

1. ${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)+{\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)}$.

2. ${\displaystyle f(x)-f(a)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)-{\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)}$.

Diz-se que uma função real ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ é de variação limitada em um intervalo ${\displaystyle [a,b]\,}$ se e somente se, para qualquer ${\displaystyle \alpha <\infty }$ vale que:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)<\infty \,}$

Funções crescentes em um intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ são de variação limitada neste intervalo.

Se ${\displaystyle f}$ é um função crescente em ${\displaystyle [a,b]}$, então ${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=\alpha \sup \sum _{i}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=\alpha \sup \sum _{i}f(x_{i})-f(x_{i-1})\leq \alpha (f(b)-f(a))<\infty }$.

Uma função ${\displaystyle f}$ é de variação limitada em ${\displaystyle [a,b]}$ se, e somente se, ${\displaystyle f}$ é a diferença entre duas funções crescentes limitadas.

Se ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)}$, com ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ crescentes e limitadas, então ${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)={\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha (f_{1}(x)-f_{2}(x)))\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f_{1}(x))-{\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f_{2}(x))\infty }$.

Por outro lado, se ${\displaystyle f}$ é devariação limitada em ${\displaystyle [a,b]}$, então considere ${\displaystyle f_{1}(x)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)}$ e ${\displaystyle f_{2}(x)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)}$. Obviamente ${\displaystyle f_{1}}$ e ${\displaystyle f_{2}}$ são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que

${\displaystyle f(x)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)+f(a)-{\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}$.

Seja ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}$ uma função de classe ${\displaystyle C^{1}[a,b]\,}$, então:

${\displaystyle {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,}$

A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x\cos \left({\frac {\pi }{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.}$

Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo ${\displaystyle [0,1]\,}$. Para provar isso considere o seguintes pontos:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n+1}},\quad f(x_{n})={\frac {1}{n+1}}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots \,}$

Assim

${\displaystyle \left|f(x_{n})-f(x_{n-1})\right|={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}>1/n,n=1,2,3,\ldots \,}$

Portanto, ${\displaystyle {\hbox{var}}_{[0,1]}(f)\geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty \,}$

A seguinte integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d\gamma (x)}$

é bem conhecida quando temos ${\displaystyle \gamma (x)=x}$. Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que ${\displaystyle \gamma }$ seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que ${\displaystyle \gamma }$ seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que

${\displaystyle \gamma (x)=\lambda _{1}(x)-\lambda _{2}(x)}$,

onde ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ são funções crescentes e limitadas.

Portanto, temos que

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)d\gamma (x)=\int _{a}^{b}f(x)d(\lambda _{1}(x)-\lambda _{2}(x))=\int _{a}^{b}f(x)d\lambda _{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)d\lambda _{2}(x)}$.

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2007), Real Analysis, Princeton University .