Topologia da ordem

A topologia da ordem é a topologia associada a uma relação de ordem em um conjunto.

Seja ${\displaystyle (X,<)\,}$ um conjunto ordenado, em que a relação de ordem não precisa ser de ordem total. Podemos associar 3 topologias a essa relação de ordem parcial, definidas por suas sub-bases:

• A topologia da ordem à esquerda, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X|a<x\}\,}$.
• A topologia da ordem à direita, em que a sub-base é formada pelos conjuntos da forma ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X|x<b\}\,}$.
• A topologia da ordem, em que a sub-base é formada pelos conjuntos ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X|a<x\}\,}$ e ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X|x<b\}\,}$.

Se a relação é de ordem total, então a topologia da ordem é Hausdorff.

Prova: sejam ${\displaystyle a,c\in X,\ a\leq c\,}$. Considere os abertos ${\displaystyle a\in (-\infty ,c)\,}$ e ${\displaystyle c\in (a,\infty )\,}$. Se sua interseção for vazia, então provamos que a e c estão separados por abertos. Caso contrário, existe ${\displaystyle b\in (a,\infty )\cap (-\infty ,c)\,}$, portanto ${\displaystyle a<b<c\,}$. Então separamos a e c pelos abertos disjuntos ${\displaystyle a\in (-\infty ,b)\,}$ e ${\displaystyle c\in (b,\infty )\,}$.

Como contraexemplo, temos o conjunto {2, 3, 6} ordenado pela relação ${\displaystyle a<b\,}$ quando a for um divisor próprio de b. A sub-base da topologia da ordem contém os conjuntos ${\displaystyle (2,\infty )=(3,\infty )=\{6\}\,}$, ${\displaystyle (6,\infty )=\varnothing \,}$, ${\displaystyle (-\infty ,2)=(-\infty ,3)=\varnothing \,}$ e ${\displaystyle (-\infty ,6)=\{2,3\}\,}$, portanto a topologia da ordem é ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2,3\},\{6\},\{2,3,6\}\}\,}$ que não é Hausdorff.