Lista de equações de Euler (dinâmica de corpo rígido)

Em mecânica clássica as equações de Euler descrevem a rotação de um corpo rígido num sistema de referência com os seus eixos fixos ao corpo e paralelo ao eixos principais do corpo de inércia. Em componentes cartesianas, são eles:

${\displaystyle J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }+(J_{z}-J_{y})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{x\mathrm {C} }}$

${\displaystyle J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }+(J_{x}-J_{z})\,\omega _{x\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{y\mathrm {C} }}$

${\displaystyle J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }+(J_{y}-J_{x})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{x\mathrm {C} }=M_{z\mathrm {C} }}$

onde ${\displaystyle J_{i\mathrm {C} }}$ são os momentos de inércia, ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{i\mathrm {C} }}$ as acelerações angulares, ${\displaystyle \omega _{i\mathrm {C} }}$ as velocidades angulares e ${\displaystyle M_{i\mathrm {C} }}$ os torques. Todos no sistema de coordenadas do corpo rígido.

Os cálculos que envolvem a aceleração, a aceleração angular, velocidade angular, momento angular, e a energia cinética são muitas vezes mais fáceis quando referenciados nas coordenadas do corpo. Isso porque o tensor momento de inércia ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {C} }}$ no sistema de coordenadas do corpo não se altera com o tempo. Se o tensor dos momentos de inércia do corpo rígido (com nove componentes, dos quais seis são independentes) for diagonalizado, então obtêm-se um sistema de coordenadas (chamado de eixos principais), no qual o momento de inércia do tensor tem apenas três componentes.^[1] O momento ângular no sistema do corpo é

${\displaystyle \mathbf {L} _{\mathrm {C} }=\mathbf {J} _{\mathrm {C} }\,{\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}J_{x}&0&0\\0&J_{y}&0\\0&0&J_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}J_{x}\,\omega _{x}\\J_{y}\,\omega _{y}\\J_{z}\,\omega _{z}\end{bmatrix}}~.}$

No entanto, o princípio fundamental da dinâmica é definido no sistema inercial:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\mathrm {I} }}{dt}}=\mathbf {M} _{\mathrm {I} }~,}$

onde ${\displaystyle \mathbf {M} }$ é o vetor torque. Para princípio fundamental da dinâmica ser resolvido com o sistema de coordenadas do corpo, o vetor do momento de inércia precisa ser transformado pela matriz de rotação ${\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {IC} }}$ definida pelos ângulos de Euler. Portanto,

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\mathrm {I} }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }\right)={\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }+\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }\,{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {C} }=\mathbf {M} _{\mathrm {I} }~.}$

Para se obter o torque no sistema de coordenadas do corpo, multiplica-se os dois lados por ${\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }=\mathbf {T} _{\mathrm {IC} }^{-1}}$:

${\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,\mathbf {L} _{\mathrm {C} }+{\dot {\mathbf {L} }}_{\mathrm {C} }=\mathbf {M} _{\mathrm {C} }~,}$

ou

${\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }\,{\begin{bmatrix}J_{x}\,\omega _{x\mathrm {C} }\\J_{y}\,\omega _{y\mathrm {C} }\\J_{z}\,\omega _{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }\\J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }\\J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}M_{x\mathrm {C} }\\M_{y\mathrm {C} }\\M_{z\mathrm {C} }\end{bmatrix}}~,}$

com

${\displaystyle \mathbf {T} _{\mathrm {CI} }\,{\dot {\mathbf {T} }}_{\mathrm {IC} }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z\mathrm {C} }&\omega _{y\mathrm {C} }\\\omega _{z\mathrm {C} }&0&-\omega _{x\mathrm {C} }\\-\omega _{y\mathrm {C} }&\omega _{x\mathrm {C} }&0\end{bmatrix}}~.}$

Finalmente obtê-se as famosas equações de Euler que descrevem como os componentes do vetor de velocidade angular no sistema de coordenadas do corpo evoluem no tempo,

${\displaystyle J_{x}\,{\dot {\omega }}_{x\mathrm {C} }+(J_{z}-J_{y})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{x\mathrm {C} }}$

${\displaystyle J_{y}\,{\dot {\omega }}_{y\mathrm {C} }+(J_{x}-J_{z})\,\omega _{x\mathrm {C} }\,\omega _{z\mathrm {C} }=M_{y\mathrm {C} }}$

${\displaystyle J_{z}\,{\dot {\omega }}_{z\mathrm {C} }+(J_{y}-J_{x})\,\omega _{y\mathrm {C} }\,\omega _{x\mathrm {C} }=M_{z\mathrm {C} }}$

• Giroscópio

Referências