Teoria de representação

A teoria da representação estuda como estruturas algébricas "agem" sobre objetos. Um exemplo simples é a forma como um polígono é transformado por suas simetrias por reflexões e rotações, que são todas transformações lineares em torno do centro do polígono.

A teoria da representação é um ramo da matemática que estuda estruturas algébricas abstratas por meio de representações de seus elementos como transformações lineares de espaços vetoriais, e estuda módulos sobre essas estruturas algébricas abstratas.[1][2] Em essência, uma representação torna um objeto algébrico abstrato mais concreto ao descrever seus elementos por matrizes e suas operações algébricas (como adição de matrizes, multiplicação de matrizes).

Os objetos algébricos que admitem tal descrição incluem grupos, álgebras associativas e álgebras de Lie. O mais proeminente (e historicamente o primeiro) é a teoria da representação de grupos, em que os elementos de um grupo são representados por matrizes inversíveis de forma que a operação do grupo corresponda à multiplicação de matrizes.[3][4]

A teoria da representação é útil porque reduz problemas de álgebra abstrata a problemas de álgebra linear, um assunto bem compreendido.[5][6] Representações de objetos abstratos em termos da álgebra linear familiar podem elucidar propriedades e simplificar cálculos dentro de teorias mais abstratas. Por exemplo, representar um grupo por um espaço de Hilbert de dimensão infinita permite aplicar métodos de análise matemática à teoria de grupos.[7][8] Além disso, a teoria da representação é importante na física porque pode descrever como o grupo de simetria de um sistema físico afeta as soluções das equações que descrevem esse sistema.[9]

A teoria da representação está presente em diversas áreas da matemática. As aplicações da teoria da representação são diversas.[10] Além de seu impacto na álgebra, a teoria da representação:

Existem diversas abordagens para a teoria da representação: os mesmos objetos podem ser estudados usando métodos da geometria algébrica, teoria de módulos, teoria analítica dos números, geometria diferencial, teoria dos operadores, combinatória algébrica e topologia.[14]

O sucesso da teoria da representação levou a inúmeras generalizações. Uma das mais gerais encontra-se na teoria das categorias.[15] Os objetos algébricos aos quais a teoria da representação se aplica podem ser vistos como tipos particulares de categorias, e as representações como funtores da categoria do objeto para a categoria dos espaços vetoriais.[4] Essa descrição aponta para duas generalizações naturais: primeiro, os objetos algébricos podem ser substituídos por categorias mais gerais; segundo, a categoria-alvo dos espaços vetoriais pode ser substituída por outras categorias bem compreendidas.

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Referências

  1. ↑ Textos clássicos sobre teoria da representação incluem Curtis & Reiner (1962) e Serre (1977). Outras fontes excelentes são Fulton & Harris (1991) e Goodman & Wallach (1998).
  2. ↑ «representation theory in nLab». ncatlab.org. Consultado em 9 de dezembro de 2019 
  3. ↑ Para a história da teoria da representação de grupos finitos, veja Lam (1998). Para grupos algébricos e de Lie, veja Borel (2001).
  4. ↑ a b Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (10 de janeiro de 2011). «Introduction to representation theory» (PDF). www-math.mit.edu. Consultado em 9 de dezembro de 2019 
  5. ↑ Ronan, Mark Andrew. «linear algebra». Encyclopedia Britannica. Consultado em 8 de julho de 2024. linear algebra is very well understood 
  6. ↑ Há muitos livros didáticos sobre espaços vetoriais e álgebra linear. Para um tratamento avançado, veja Kostrikin & Manin (1997).
  7. ↑ Sally & Vogan 1989
  8. ↑ Teleman, Constantin (2005). «Representation Theory» (PDF). math.berkeley.edu. Consultado em 9 de dezembro de 2019 
  9. ↑ Sternberg 1994
  10. ↑ Lam 1998, p. 372
  11. ↑ Folland 1995
  12. ↑ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997
  13. ↑ Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984
  14. ↑ Veja as referências anteriores.
  15. ↑ Simson, Skowronski & Assem 2007
  16. ↑ Textos clássicos sobre teoria da representação incluem Curtis & Reiner (1962) e Serre (1977). Outras fontes excelentes são Fulton & Harris (1991) e Goodman & Wallach (1998).

Bibliografia

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