Teorema de Radon–Nikodym

Em matemática, especificamente em teoria da medida, o Teorema de Radon-Nikodym é um resultado que estabelece condições nas quais uma medida (ou medida com sinal) pode ser representada por uma função. Mais precisamente, seja ${\displaystyle \nu }$ uma medida com sinal e ${\displaystyle \mu }$ uma medida. Queremos saber se existe uma função ${\displaystyle f}$ tal que ${\displaystyle \nu (X)=\int _{X}f\;d\mu }$. Obviamente é necessário que ${\displaystyle \nu (X)=0}$ sempre que ${\displaystyle \mu (X)=0}$. O Teorema de Radon-Nikodym é a afirmação de que tal condição é também suficiente caso ${\displaystyle \mu }$ seja ${\displaystyle \sigma }$-finita.

Se as condições do teorema são satisfeitas, a função ${\displaystyle f}$ é denominada derivada de Radon-Nikodym, e pode ser denotada por ${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\mu }}}$. ^[1][2]

Seja ${\displaystyle S}$ um conjunto, ${\displaystyle \Sigma }$ uma ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,+\infty ]}$ uma medida. Dizemos que ${\displaystyle \mu }$ é finita caso não exista ${\displaystyle X\in \Sigma }$ tal que ${\displaystyle \mu (X)=\infty }$, ou, equivalentemente, caso ${\displaystyle \mu (S)\neq \infty }$. Dizemos que ${\displaystyle \mu }$ é ${\displaystyle \sigma }$-finita caso existam ${\displaystyle S_{i}\in \Sigma }$ tais que ${\displaystyle S=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }S_{i}}$ e para todo ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ temos ${\displaystyle \mu (S_{i})\neq \infty }$.

Seja ${\displaystyle \nu :\Sigma \to [0,+\infty ]}$ outra medida. Dizemos que ${\displaystyle \nu }$ é absolutamente contínua com respeito a ${\displaystyle \mu }$, e denotamos ${\displaystyle \nu <<\mu }$, caso ${\displaystyle \mu (X)=0}$ implique ${\displaystyle \nu (X)=0}$, para todo ${\displaystyle X\in \Sigma }$.

O Teorema de Radon-Nikodym consiste da seguinte afirmação: Se ${\displaystyle \mu }$ é ${\displaystyle \sigma }$-finita e ${\displaystyle \nu <<\mu }$ então existe uma função mensurável ${\displaystyle f:S\to [0,+\infty ]}$ que satisfaz, para todo ${\displaystyle X\in \Sigma }$,

${\displaystyle \nu (X)=\int _{X}f\;d\mu }$

Além disso, uma outra função mensurável ${\displaystyle g}$ satisfaz a equação acima se, e somente se, ${\displaystyle f=g}$ quase-sempre.

O teorema segue valendo caso ${\displaystyle \nu }$ seja uma medida com sinal. Isso porque, pelo Teorema de Decomposição de Jordan, existem duas medidas ${\displaystyle \nu ^{-},\nu ^{+}}$ tais que ${\displaystyle \nu =\nu ^{+}-\nu ^{-}}$. Além disso, se ${\displaystyle \nu <<\mu }$ então ${\displaystyle \nu ^{-}<<\mu }$ e ${\displaystyle \nu ^{+}<<\mu }$. Portanto pelo teorema existem funções ${\displaystyle f^{-},f^{+}}$ tais que

${\displaystyle \nu ^{-}(X)=\int _{X}f^{-}\;d\mu ,\;\;\;\;\nu ^{+}(X)=\int _{X}f^{+}\;d\mu }$,

e, como a integral de lebesgue é linear, a função ${\displaystyle f:=f^{+}-f^{-}}$ satisfaz

${\displaystyle \nu (X)=\nu ^{+}(X)-\nu ^{-}(X)=\int _{X}f^{+}\;d\mu -\int _{X}f^{-}\;d\mu =\int _{X}(f^{+}-f^{-})\;d\mu =\int _{X}f\;d\mu }$,

para todo ${\displaystyle X\in \Sigma }$.

O resultado deixa de ser verdade sem a hipótese de que ${\displaystyle \mu }$ é ${\displaystyle \sigma }$-finita. Para ver isso, suponha que ${\displaystyle S}$ é o conjunto dos números reais, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \Sigma }$ é a coleção dos conjuntos mensuráveis a Lebesgue, ${\displaystyle \mu }$ é a medida contagem e ${\displaystyle \nu }$ é a medida de Lebesgue. Para cada ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ temos que ${\displaystyle \{x\}\in \Sigma }$, ${\displaystyle \mu (\{x\})=1}$ e ${\displaystyle \nu (\{x\})=0}$. Portanto a função ${\displaystyle f}$, para existir, precisaria satisfazer ${\displaystyle \nu (\{x\})=f(x)\mu (\{x\})}$, ou seja, ${\displaystyle 0=f(x)}$, para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Referências