Teorema de Hurwitz (análise complexa)

Em matemática e, particularmente, no campo da análise complexa, o teorema de Hurwitz é um teorema de Adolf Hurwitz, que associa os zeros do limite de uma seqüência de funções holomorfas com zeros da funções da sequência, sob a condição que a convergência é uniforme em compactos.^[1][2]

Seja {${\displaystyle {f_{k}}}$} uma sequência de funções holomorfas, definidas em um domínio ${\displaystyle \Omega }$, e que convergem uniformemente em compactos de ${\displaystyle \Omega }$ para uma função holomorfa ${\displaystyle f}$ não identicamente nula. Se ${\displaystyle f}$ tem um zero de ordem ${\displaystyle m}$ em ${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$, existe uma vizinhança aberta ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle z_{0}}$, e ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que para ${\displaystyle k>k_{0}}$, ${\displaystyle f_{k}}$ tem ${\displaystyle m}$ zeros em U. Além disso, conforme ${\displaystyle k\to \infty }$, os zeros de ${\displaystyle f_{k}}$ convergem para ${\displaystyle z_{0}}$ e ${\displaystyle diam(U)\to 0}$.^[3]

• Deve-se notar que o teorema não vale para qualquer escolha de conjunto aberto no papel de ${\displaystyle U}$. De fato, se escolhermos um conjunto ${\displaystyle U}$ tal que ${\displaystyle z_{0}\in \partial U}$(${\displaystyle z_{0}}$ pertence ao fecho de ${\displaystyle U}$), o teorema falha. Para exemplificar isto, considere ${\displaystyle D}$ o disco unitário centrado na origem e a sequencia de funções definida por ${\displaystyle f_{n}(z)=z-1+{\frac {1}{n}}}$, ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ que converge uniformemente para ${\displaystyle f(z)=z-1}$. Essa função limite contém um zero na fronteira de ${\displaystyle D}$, i. e. não contem zeros em ${\displaystyle D}$; entretanto, cada ${\displaystyle f_{n}}$ contém um zero em ${\displaystyle z=1-{\frac {1}{n}}\in D}$.
• Quando dizemos ${\displaystyle diam(U)\to 0}$, entende-se que o diâmetro da menor vizinhança de ${\displaystyle z_{0}}$ que contém os ${\displaystyle m}$ zeros, converge para zero.

O Teorema de Hurwitz é usado na demonstração do Teorema do Mapeamento de Riemann.^[4] Além disso, seguem corolários imediatos:

• Sejam ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ um aberto conexo e {${\displaystyle f_{n}}$} uma sequência de funções holomorfas que converge uniformemente em compactos de ${\displaystyle G}$ para uma função holomorfa ${\displaystyle f}$. Se ${\displaystyle 0\notin \cup _{n}f_{n}(G)}$ (nenhuma ${\displaystyle f_{n}}$ atinge 0), então ${\displaystyle f}$ é identicamente nula, ou nunca atinge ${\displaystyle 0}$
• Se {${\displaystyle f_{n}}$} é uma sequência de funções univalentes que converge uniformemente em compactos de ${\displaystyle G}$ (como definido acima) para uma ${\displaystyle f}$ holomorfa. Então ${\displaystyle f}$ é univalente, ou constante.^[5]

Seja ${\displaystyle f}$ uma função holomorfa em um aberto de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ com um zero de ordem ${\displaystyle m}$ em ${\displaystyle z_{0}}$, e suponha que {${\displaystyle f_{n}}$} é uma sequência de funções holomorfas que converge uniformemente em compactos para ${\displaystyle f}$. Sendo holomorfa, sabemos que esse zero é isolado, então ${\displaystyle \exists r_{0}>0}$ tal que para todo ${\displaystyle 0<r<r_{0}}$, ${\displaystyle {\overline {D(z_{0},r)}}}$ só tem ${\displaystyle z_{0}}$ como zero para ${\displaystyle f}$. Por continuidade, temos que ${\displaystyle \exists \rho >0}$ tal que ${\displaystyle |f(z)|>\rho }$ ${\displaystyle \forall z\in \partial {\overline {D(z_{0},r)}}}$, e da convergência uniforme vem que ${\displaystyle |f_{k}(z)|>{\frac {\rho }{2}}}$ para ${\displaystyle k}$ suficientemente grande. Isso implica que as funções ${\displaystyle g(z)={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$ e ${\displaystyle g_{k}(z)={\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}}$ estão bem definidas, são holomorfas, e ${\displaystyle g_{k}\to g}$ uniformemente em compactos. Usando o Principio do Argumento, vemos que^[3]

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }m_{k}=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D(z_{0},r)}{\frac {f_{k}'(z)}{f_{k}(z)}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D(z_{0},r)}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=m}$,

onde ${\displaystyle m_{k}}$ é o número de zeros de ${\displaystyle f_{k}}$, e por ser um número inteiro, para ${\displaystyle k}$ grande devemos ter ${\displaystyle m_{k}=m}$. Note que os argumentos da demonstração não dependem de ${\displaystyle r}$, podemos fazer ${\displaystyle r\to 0^{+}}$, de modo que os zeros de ${\displaystyle f_{k}}$ se acumulam em ${\displaystyle z_{0}}$.^[6]

Na demonstração, podemos comutar o limite com a integral devido ao teorema da convergência dominada.

• Função zeta de Hurwitz
• Teorema de Rouché

Referências

• Ahlfors, Lars V. (1966), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, International Series in Pure and Applied Mathematics 2nd ed. , McGraw-Hill 
• Ahlfors, Lars V. (1978), Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, ISBN 0070006571, International Series in Pure and Applied Mathematics 3rd ed. , McGraw-Hill 
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, New York, 1978.
• E. C. Titchmarsh, The Theory of Functions, second edition (Oxford University Press, 1939; reprinted 1985), p. 119.
• Solomentsev, E.D. (2001), «Hurwitz theorem», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer