Teorema de Dini

O Teorema de Dini, nomeado assim em homenagem ao ilustre matemático italiano do século XIX, Ulisse Dini, é um importantíssimo resultado de Análise real que caracteriza a convergência de sequências de funções dentro de um compacto de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, i.e., um fechado e limitado.

Enunciado : Seja ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ compacto (fechado e limitado). Se uma sequência de funções contínuas ${\displaystyle f_{n}:X\rightarrow \mathbb {R} }$ converge monotonicamente para uma função contínua ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, então a convergência é uniforme.

Demonstração: Dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$, considere, para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, o seguinte conjunto:

${\displaystyle K_{n}=\{x\in X/\vert f_{n}(x)-f(x)\vert \geq \varepsilon \}}$

Como ${\displaystyle f_{n}}$ e ${\displaystyle f}$ são contínuas e ${\displaystyle X}$ é fechado, pois é compacto, segue-se que para cada ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle K_{n}}$ é um subconjunto fechado de ${\displaystyle X}$, pois pode ser visto , para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ como imagem inversa da função ${\displaystyle g:X\rightarrow \mathbb {R} }$ abaixo definida:

${\displaystyle g_{n}(x)=\vert f(x)-f_{n}(x)\vert }$

Observe que ${\displaystyle g_{n}:X\rightarrow \mathbb {R} }$ é contínua para cada ${\displaystyle n}$, pois é a composição da função módulo e da diferença das funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f_{n}}$ para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Observe também que o conjunto ${\displaystyle [\varepsilon ,\infty )}$ é fechado de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, pois seu complementar, ${\displaystyle (-\infty ,\varepsilon )}$ é aberto.

Logo,

${\displaystyle K_{n}=g^{-1}([\varepsilon ,\infty ))}$

Logo, ${\displaystyle K_{n}}$ é fechado, e por ser subconjunto de um compacto, é compacto para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Como a sequência ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ é monótona (não-decrescente) , teremos que ${\displaystyle K_{1}\supset K_{2}\supset \cdots \supset K_{n}\supset \cdots }$, pois de outro modo a sequência ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ não convergiria monotonicamente para ${\displaystyle f}$. Mas, observe que:

${\displaystyle \bigcap {K_{n}}=\varnothing }$

pois suponha, ab absurdo que ${\displaystyle x\in K_{n}}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Ora, isto implicaria ${\displaystyle \vert f_{n}(x)-f(x)\vert \geq \varepsilon ,(\forall x)}$

para todo n, o que implicaria na não-convergência da sequência, Q.E.A..

Sendo:

${\displaystyle \bigcap {K_{n}}=\varnothing }$

concluímos que existe ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle K_{n_{0}}=\varnothing }$.

Suponha que não ocorresse isto. Então ocorreria que, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,K_{n}\neq \varnothing }$. Então poderíamos construir uma sequência que não admitiria subsequência convergente, o que seria absurdo pois os ${\displaystyle K_{n}}$'s são sequencialmente compactos. Logo, ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow J_{n}=\varnothing }$, ou seja, ${\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow \vert f_{n}(x)-f(x)\vert <\varepsilon }$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Logo, a convergência é uniforme.

Q.E.D.