Teorema da função inversa

O teorema da função inversa é um importante resultado da análise real que estabelece a existência, ainda que localmente, de um função inversa para uma aplicação continuamente diferenciável. E embora este teorema possua equivalência com o Teorema da função implícita, cujas ideias apereceram inicialmente nos escritos de Isaac Newton, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) foi o matemático que apresentou um resultado que essencialmente é uma versão do Teorema da Função Inversa. Além da garantia da inversibilidade de aplicações, podemos utilizar este resultado para demostrar o Teorema fundamental da álgebra e resultados envolvendo superfícies regulares, no ramo da Geometria diferencial. Por outro lado, ainda existem versões generalizadas para este resultado, envolvendo funções holomorfas e aplicações definidas em Espaço de Banach, por exemplo.

Seja ${\displaystyle f:O\to \mathbb {R} \,}$ uma função de classe ${\displaystyle C^{1}\,}$ num domínio ${\displaystyle O\,}$ aberto. Se ${\displaystyle x_{0}\in O\,}$ e ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0\,}$ então existe um intervalo ${\displaystyle (x_{0}-h,x_{0}+h)\subseteq O\,}$ onde a ${\displaystyle f\,}$ é injetora e, portanto, sobrejetiva em sua imagem. Ademais, se ${\displaystyle f^{-1}\,}$ é a inversa de ${\displaystyle f\,}$ em sua imagem, temos:

${\displaystyle \left.{\frac {df^{-1}(y)}{dy}}\right|_{y=f(x)}=\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{-1}}$

• Seja ${\displaystyle f:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ uma função de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\,(k\geqslant 1)}$ em um aberto ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Se ${\displaystyle \alpha \in U}$é tal que ${\displaystyle f'(\alpha ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ é invertível então existe uma bola aberta ${\displaystyle B={\mathcal {B}}(\alpha ;\delta )\subset U}$ tal que restrição ${\displaystyle f|_{B}}$ é um difeomorfismo sobre um aberto ${\displaystyle V\ni f(\alpha )}$.^[1]

• Sejam ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$um aberto e ${\displaystyle f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}(1\leqslant k\leqslant \infty )}$ tal que, em um ponto ${\displaystyle x_{0}\in U,f'(x_{0})\in {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})}$ é um isomorfismo. Então ${\displaystyle f}$ é um difeomorfismo de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ de uma vizinhança ${\displaystyle V}$de ${\displaystyle x_{0}}$sobre uma vizinhança ${\displaystyle W}$de ${\displaystyle f(x_{0})}$.^[2]

Dentre os diversos métodos de demonstração do Teorema da função inversa, podemos destacar os métodos utlizados para as versões acima.

Na primeira versão, utilizamos fundamentalmente um resultado que garante que o inverso de um homeomorfismo de classe ${\displaystyle C^{1}}$entre abertos é diferenciável de modo que para demonstrar que ${\displaystyle f|_{B}}$ é difeomorfismo, faz-se necessário mostrar apenas que ${\displaystyle f(B)\ \subset \mathbb {R} ^{n}}$é aberto, em que B é definido a partir da hipóstese que ${\displaystyle f'(\alpha ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$é invertível e, em particular, é injetiva.

Para segunda versão, podemos considerar a demonstração mais comumente utilizada na literatura, que utiliza-se conceitos advindos da teoria de Espaços Métricos e fundamentam-se no Teorema do ponto fixo de Banach. Nesse sentido, é utilizado o resultado conhecido como perturbação da identidade para garantir que ${\displaystyle f|_{V}}$é um homeomorfismo de V em um aberto ${\displaystyle W\ni f(x_{0})}$. Além disso, podemos adequar V de modo que ${\displaystyle f'(x)}$seja invertível, restando mostrar que ${\displaystyle f^{-1}(x)}$é diferenciável e é de classe ${\displaystyle C^{k}}$, em que a primeira parte é mostrada por definição e a segunda por indução sobre k.

Consideremos ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},}$ definida por ${\displaystyle f(x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y).}$ O determinante jacobiano é:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\end{vmatrix}}=e^{2x}(\cos ^{2}y+\sin ^{2}y)=e^{2x}}$

que é não-nulo para todo ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}.}$ Concluimos que ${\displaystyle f}$ é um difeomorfismo local de classe ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Dadas as matrizes${\displaystyle x,m\in M(n\times n)}$, diz-se que ${\displaystyle x}$é raiz quadrada de ${\displaystyle m}$quando ${\displaystyle x^{2}=m}$. Considerando a aplicação ${\displaystyle f:M(n\times n)\to M(n\times n),f(x)=x^{2}}$de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$, sua derivada num ponto ${\displaystyle x\in M(n\times n)}$é a transformação linear ${\displaystyle f'(x):\mathbb {R} ^{n^{2}}\to \mathbb {R} ^{n^{2}}}$, dada por ${\displaystyle f'(x)\cdot m=m\cdot x+x\cdot m}$. Em particular, para ${\displaystyle x=I_{n},}$ tem-se ${\displaystyle f'(I_{n})\cdot m=2m}$, logo ${\displaystyle f'(I_{n}):\mathbb {R} ^{n^{2}}\to \mathbb {R} ^{n^{2}}}$é isomorfismo. Então, do teorema da função inversa, existe um aberto ${\displaystyle U\subset M(n\times n)}$, contendo a matriz identidade, restrita ao qual ${\displaystyle f}$ é um difeomorfismo sobre o aberto ${\displaystyle V=f(U)}$. Assim, para toda matriz ${\displaystyle y\in V}$existe uma única matriz ${\displaystyle x=\surd y\in U}$tal que ${\displaystyle x^{2}=y}$. Além disso, a aplicação ${\displaystyle f^{-1}:V\to U,y\mapsto \surd y}$é de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Seja ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$um polinômio complexo não constante, ${\displaystyle p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},\,a_{n}\neq 0,\,n\geq 1}$. Afirmamos que p é sobrejetivo. Em particular, existe ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {R} ^{2}}$tal que ${\displaystyle p(z_{0})=0}$.

A demonstração desse teorema utiliza-se inicialmente do conceito de derivada como uma transformação linear para denotar para cada ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{2}}$a derivada de 𝑝 no ponto 𝑧 por ${\displaystyle p'(z)}$ e definir o conjunto ${\displaystyle F=\{z\in \mathbb {R} ^{2}\,|\,p'(z)=0\}}$. Uma vez que um polinômio não-nulo possui número finito de raízes, garantimos que o conjunto ${\displaystyle F}$, assim como ${\displaystyle p(F)}$ , é finito e consequentemente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-p(F)}$é conexo. A fim de satisfazer as hipóteses do Teorema da Função Inversa, definimos por restrição de ${\displaystyle p}$ uma nova aplicação ${\displaystyle P:\mathbb {R} ^{2}-p^{-1}(p(F))\rightarrow \mathbb {R} ^{2}-p(F)}$, garantindo que para cada ${\displaystyle z\in P,\,z\notin F,P'(z)=p'(z)}$ é um complexo não-nulo e portanto, ${\displaystyle P'(z)}$é um isomorfismo. Deste modo, pelo Teorema da Função Inversa, 𝑃 é uma aplicação aberta, e em particular, a imagem de 𝑃 é um subconjunto aberto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-p(F)}$. Mas por outro lado, pode se mostrar que o conjunto de valores de P é um subconjunto fechado de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-p(F)}$, concluindo que a imagem de 𝑝 é aberta e fechada em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-p(F)}$, que é conexo. Portanto, P é sobrejetivo em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-p(F)}$, e como ${\displaystyle p(F)}$ está contido na imagem de ${\displaystyle p}$, tem-se que ${\displaystyle p}$ é sobrejetivo em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, o que conclui a demonstração.

Por simplicidade, ponhamos ${\displaystyle U=GL(\mathbb {R} ^{n})}$. Definamos ${\displaystyle \Phi :U\times U\to U\times U}$por ${\displaystyle \Phi (X,Y)=(X,XY)}$. Então ${\displaystyle \Phi \in C^{\infty }}$com ${\displaystyle \Phi '(X,Y)\cdot (H,K)=(H,XK+HY)}$. Logo ${\displaystyle \Phi '(X,Y):{\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n})}$é um isomorfismo, cujo inverso é dado por ${\displaystyle (A,B)\mapsto (A,X^{-1}B-X^{-1}AY)}$. Segue do teorema da função inversa que ${\displaystyle \Phi }$é um difeomorfismo local e como ${\displaystyle \Phi }$é injetora, segue que é difeomorfismo. Em particular, sua inversa ${\displaystyle \Phi ^{-1}:U\times U\to U\times U}$, dada por ${\displaystyle \Phi ^{-1}(S,T)=(S,S^{-1}T)}$, é diferenciável. Seja ${\displaystyle \eta :U\to U\times U}$definida por ${\displaystyle \eta (S)=(S,I)}$A composta ${\displaystyle \xi \circ \eta :U\to U}$é diferenciável. Mas ${\displaystyle \xi \circ \eta (S)=S^{-1}=i(S)}$e, portanto, ${\displaystyle i:U\to U}$é um difeomorfismo. De ${\displaystyle X\cdot i(X)=I}$, segue-se por fiferenciação que, para todo ${\displaystyle H\in {\mathcal {L}}(\mathbb {R} ^{n}),H\cdot I(X)+X\cdot i'(X)\cdot H=0}$ e portanto, ${\displaystyle i'(X)\cdot H=-X^{-1}HX^{-1}.}$ Segue-se que ${\displaystyle i(X)=X^{-1}}$é de classe ${\displaystyle C^{\infty }.}$

Seja ${\displaystyle U}$uma vizinhança aberta da origem de ${\displaystyle X}$e ${\displaystyle F:U\to Y}$uma função continuamente diferenciável. Suponha que a derivada de Fréchet ${\displaystyle dF_{0}:X\to Y}$de ${\displaystyle F}$ no ponto 0 é um isomorfismo linear limitado de X em Y, então existe uma vizinhança aberta ${\displaystyle V}$de ${\displaystyle F(0)}$em ${\displaystyle Y}$e uma função continuamente diferenciável ${\displaystyle G:V\to X}$tal que ${\displaystyle F(G(y))=y,\forall y\in V}$. Mais ainda, ${\displaystyle G(y)}$é a única solução suficientemente pequena x para ${\displaystyle F(x)=y}$.^[3]

Seja ${\displaystyle F}$ uma função holomorfa definida num aberto ${\displaystyle U\subset \mathbb {C} ^{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Se a matriz jacobiana das derivadas complexas é inversível em um ponto ${\displaystyle p}$, então ${\displaystyle F}$é uma função inversível na vizinhança de ${\displaystyle p}$.^[4]