Teorema da convergência monótona

Em matemática, o teorema da convergência monótona é um dos principais teoremas a respeito da integral de Lebesgue.

Seja ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {R} \,}$ uma seqüência de funções mensuráveis tal que:

• ${\displaystyle 0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots \leq f_{n}\leq \ldots \,}$

Então ${\displaystyle f:=\lim _{n\to \infty }f_{n}=\sup _{n}f_{n}\,}$ é uma função mensurável e:

${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$

Em outras palavras, limite e integração comutam: a integral do limite é o limite das integrais.

Note que, para um dado ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle f_{n}(x)}$ é uma sequência monótona, portanto converge em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ se, e somente se, for limitada. Para garantir que ${\displaystyle f_{n}(x)}$ sempre converge, define-se que ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=\infty }$ sempre que ${\displaystyle f_{n}(x)}$ não é limitada. Ou seja, o codomínio de ${\displaystyle f(x)}$ é ${\displaystyle [0,\infty ]}$, um subconjunto dos reais extendidos.

${\displaystyle f(x)=\sup f_{n}(x)}$ é mensurável pois para todo ${\displaystyle a\in [0,\infty )}$ temos

${\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\{x\in X:f_{n}(x)>a\}}$

Como ${\displaystyle f_{n}(x)}$ são, por hipótese, mensuráveis, os conjuntos ${\displaystyle \{x\in X:f_{n}(x)>a\}}$ são mensuráveis, isto é, eles pertencem a uma dada ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle X}$. Como ${\displaystyle \sigma }$-algebras são fechadas por uniões enumeráveis, ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>a\}}$ pertence a essa mesma ${\displaystyle \sigma }$-algebra. Portanto ${\displaystyle f(x)}$ é mensurável.

Como ${\displaystyle f_{n}\leq f}$, para todo ${\displaystyle n}$, segue facilmente da definição da integral de Lebesgue que ${\displaystyle \int _{X}f_{n}\;d\mu \;\leq \;\int _{X}f\;d\mu }$, para todo ${\displaystyle n}$. Portanto ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu \;\leq \;\int _{X}f\;d\mu }$. Resta mostrar a desigualdade inversa, ${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu \;\leq \;\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$.

Da definição de integral de Lebesgue temos que para todo ${\displaystyle \delta >0}$ existe uma função simples ${\displaystyle s:X\rightarrow \mathbb {R} }$ que satisfaz ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ e

${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu \;-\;\delta \;<\;\int _{X}s\;d\mu }$.

Crucialmente, podemos escolher uma ${\displaystyle s}$ que satisfaz ${\displaystyle s(x)<f(x)}$ sempre que ${\displaystyle f(x)>0}$. Para ver isso, suponha inicialmente que ${\displaystyle s}$ não possui essa propriedade. Para ${\displaystyle \lambda \in (0,1)\subset \mathbb {R} }$ a função ${\displaystyle \lambda s}$ é também simples, não-negativa, menor ou igual a ${\displaystyle f}$ e, para algum ${\displaystyle \lambda }$ suficientemente próximo de ${\displaystyle 1}$, claramente satisfaz

${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu \;-\;\delta \;<\lambda \int _{X}s\;d\mu \;=\;\int _{X}\lambda s\;d\mu }$.

Portanto ${\displaystyle \lambda s}$ poderia ter sido escolhida originalmente no lugar de ${\displaystyle s}$. Mas ${\displaystyle \lambda s}$ claramente satisfaz ${\displaystyle s(x)<f(x)}$ sempre que ${\displaystyle f(x)>0}$, independente do valor de ${\displaystyle \lambda }$.

Considere os conjuntos ${\displaystyle A_{n}:=\{x\in X:s(x)\leq f_{n}(x)\}}$. Queremos agora mostrar que

${\displaystyle \int _{X}s\;d\mu \;=\;\lim _{n\to \infty }\int _{A_{n}}s\;d\mu }$.

Para isso precisamos estabelecer algumas propriedades de ${\displaystyle A_{n}}$. Da motonicidade da sequência ${\displaystyle f_{n}}$ temos que ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots \subseteq X}$. Do fato que ${\displaystyle s(x)<f(x)}$ sempre que ${\displaystyle f(x)>0}$, e que ${\displaystyle f_{n}}$ converge para ${\displaystyle f}$ em todos os pontos do domínio, temos que para todo ${\displaystyle x\in X}$ com ${\displaystyle f(x)>0}$ existe algum ${\displaystyle n}$ tal que ${\displaystyle s(x)<f_{n}(x)}$. Quando ${\displaystyle f(x)=0}$, obviamente temos ${\displaystyle s(x)=f_{n}(x)=0}$. Portanto para todo ${\displaystyle x\in X}$ existe algum ${\displaystyle n}$ tal que ${\displaystyle s(x)\leq f_{n}(x)}$. Segue que ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}=X}$. Considere os conjuntos ${\displaystyle B_{n}:=A_{n}\backslash A_{n-1}}$. Eles são pares-disjuntos (${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ sempre que ${\displaystyle i\neq j}$) e ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}=X}$. Portanto

${\displaystyle \int _{X}s\;d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }\int _{B_{i}}s\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\int _{B_{i}}s\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{A_{n}}s\;d\mu }$.

Além disso, temos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{A_{n}}s\;d\mu \;\;\leq \;\lim _{n\to \infty }\int _{A_{n}}f_{n}\;d\mu \;\leq \;\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$.

Juntando as fórmulas acima segue imediatamente que

${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu \;-\;\delta \;<\;\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$,

e como isso vale para qualquer ${\displaystyle \delta >0}$, segue que

${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu \;\leq \;\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$.

Isso conclui a prova.

• A proposição segue valendo se cada uma das desigualdades em ${\displaystyle 0\leq f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots \leq f_{n}\leq \ldots \,}$ vale somente em quase todo ponto, ou seja, quando falha em um conjunto de medida zero.
• Dada ${\displaystyle f\geq 0}$, existem funções simples ${\displaystyle 0\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \ldots \leq s_{n}\leq \ldots \leq f}$ que convergem pontualmente para ${\displaystyle f}$. O teorema garante que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}\;d\mu =\int _{X}f\;d\mu }$

• A demonstração acima utiliza o fato que a integral de funções simples é linear, mas não supões que o mesmo vale para as integrais de funções não-negativas arbitrárias. Podemos usar o teorema para provar que tais integrais são de fato lineares. Se ${\displaystyle f,g\geq 0}$, existem sequências de funções simples ${\displaystyle 0\leq s_{1}^{f}\leq s_{2}^{f}\leq \ldots \leq s_{n}^{f}\leq \ldots \leq f}$ e ${\displaystyle 0\leq s_{1}^{g}\leq s_{2}^{g}\leq \ldots \leq s_{n}^{g}\leq \ldots \leq g}$ que convergem pontualmente para ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, respectivamente. Para ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$, temos

${\displaystyle \int _{X}(f+\lambda g)\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}(s_{n}^{f}+\lambda s_{n}^{g})\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\left(\int _{X}s_{n}^{f}\;d\mu +\lambda \int _{X}s_{n}^{g}\;d\mu \right)=\lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}^{f}\;d\mu +\lambda \lim _{n\to \infty }\int _{X}s_{n}^{g}\;d\mu =\int _{X}f\;d\mu +\lambda \int _{X}g\;d\mu }$

• Se ${\displaystyle g_{i}}$ são funções não-negativas, então as funções ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g_{i}}$ satisfazem as hipóteses do Teorema. Segue que

${\displaystyle \int _{X}\sum _{i=1}^{\infty }g_{i}\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}\sum _{i=1}^{n}g_{i}\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\int _{X}g_{i}\;d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }\int _{X}g_{i}\;d\mu }$

• A proposicão vale para a sequência ${\displaystyle 0\geq f_{1}\geq f_{2}\geq \ldots \geq f_{n}\geq \ldots \,}$ pois temos ${\displaystyle 0\leq -f_{1}\leq -f_{2}\leq \ldots \leq -f_{n}\leq \ldots \,}$, o que nos dá

${\displaystyle \int _{X}\lim _{n\to \infty }f_{n}\;d\mu =-\int _{X}\lim _{n\to \infty }(-f_{n})\;d\mu =-\lim _{n\to \infty }\int _{X}(-f_{n})\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$.

• Utilizando o fato que a integral de Lebesgue é linear no espaço das funções ${\displaystyle f}$ que satisfazem ${\displaystyle \int _{X}f\;d\mu <\infty }$ podemos concluir o seguinte: se ${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq \ldots \leq f_{n}\leq \ldots \,}$ é tal que ${\displaystyle 0\nleq f_{1}}$ mas existe função ${\displaystyle h}$ tal que ${\displaystyle h\leq f_{1}}$ e ${\displaystyle \int _{X}h\;d\mu <\infty }$ então

${\displaystyle \int _{X}\lim _{n\to \infty }f_{n}\;d\mu -\int _{X}h\;d\mu =\int _{X}\lim _{n\to \infty }(f_{n}-h)\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}(f_{n}-h)\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu -\int _{X}h\;d\mu }$

Como podemos somar ${\displaystyle \int _{X}h\;d\mu }$ aos dois lados da equação, temos

${\displaystyle \int _{X}\lim _{n\to \infty }f_{n}\;d\mu =\lim _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\;d\mu }$

• Lema de Fatou
• Teorema da convergência dominada

• Bartle, Robert G. (1995), The Elements of Integration and Lebesgue Measure, ISBN 0-471-04222-6 Wiley Classics Library Edition ed. , John Wiley & Sons 
• Adams, Malcolm; Guillemin, Victor (1996), Measure Theory and Probability, ISBN 0-8176-3884-9, Birkhäuser 
• Tao, Terence (2011), An Introduction to Measure Theory, ISBN 978-0-8218-6919-2, American Mathematical Society