Teorema da contração

O teorema da contração estabelece a existência e unicidade de pontos fixos para aplicação contrativas em espaços métricos completos compactos. É muito semelhante com o teorema do ponto fixo de Banach, porém não exige que a contração seja uniforme mas exige que o espaço seja compacto.

Seja ${\displaystyle \mathbb {X} \,}$ um espaço métrico completo compacto e ${\displaystyle f:\mathbb {X} \to \mathbb {X} \,}$ uma aplicação.

Diz-se que ${\displaystyle f\,}$ é uma contração se:

${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)~~~\forall x\neq y\in \mathbb {X} \,}$

O teorema afirma que então existe um único ponto ${\displaystyle x^{*}\,}$ tal que:

${\displaystyle f(x^{*})=x^{*}\,}$

Observe que toda contração é uma função contínua.

Suponha que ${\displaystyle f\,}$ admita dois pontos fixos diferentes ${\displaystyle x^{*}\,}$ e ${\displaystyle y^{*}\,}$. Então:

${\displaystyle d(x^{*},y^{*})=d(f(x^{*}),f(y^{*}))<d(x^{*},y^{*})\,}$, um absurdo.

Defina a função auxiliar ${\displaystyle h:\mathbb {X} \to \mathbb {R} \,}$ como:

${\displaystyle h(x)={\hbox{d}}(x,f(x))\,}$

Esta função é contínua, pois ${\displaystyle f\,}$ o é, logo assume um mínimo no compacto ${\displaystyle \mathbb {X} \,}$:

${\displaystyle \delta =\inf _{x\in \mathbb {X} }h(x)=h(x^{*})}$

, para algum ${\displaystyle x^{*}\in \mathbb {X} \,}$.

Resta-nos mostrar que ${\displaystyle x^{*}\,}$ é um ponto fixo de ${\displaystyle f\,}$, o que equivale a mostrar que ${\displaystyle \delta =0\,}$.

Mas, ${\displaystyle \delta \geq 0\,}$, se acontecer a desigualdade estrita ${\displaystyle \delta >0\,}$, podemos definir ${\displaystyle y^{*}=f(x^{*})\,}$ e temos:

• ${\displaystyle d(x^{*},y^{*})=d(x^{*},f(x^{*}))\geq \delta >0}$, assim ${\displaystyle x^{*}\neq y^{*}}$

${\displaystyle \delta \leq h(y^{*})\,}$, do fato de ser mínimo.

${\displaystyle \delta \leq d(y^{*},f(y^{*}))=d(f(x^{*}),f(y^{*}))<d(x^{*},y^{*})=\delta \,}$, um absurdo.

E o resultado segue.

• Teorema do ponto fixo de Banach
• Ponto fixo