Superfície desenvolvível

Em matemática, uma superfície desenvolvível é uma superfície regrada com curvatura gaussiana zero, ou seja, é uma superfície que pode ser achatada em um plano sem esticar, distorcer, rasgar ou vincar.^[1][2] Todas as retas nesse tipo de superfície são tangentes a uma mesma curva de dupla curvatura.^[3]

Matematicamente, superfície desenvolvível pode ser definida como uma superfície regrada do tipo ${\displaystyle S(t,u)=C(t)+uw(t),t\in I,u\in \mathbb {R} ,}$ gerada pela família ${\displaystyle \{C(t),w(t)\}}$ com ${\displaystyle \mid w(t)\mid =1}$ se ${\displaystyle (w\cdot w',C')=0}$. ^[4]

Superfície desenvolvível também é aquela gerada através de transformações do plano, como dobres, cortes e rotações. Podem ser descritas por linhas com trajetórias espaciais específicas.^[5]

As superfícies desenvolvíveis que podem ser configuradas no espaço tridimensional incluem:

• A seção transversal dos cilindros;
• Os cones;
• O oloide e o esférico, que desenvolvem toda a sua superfície ao rolar por um plano;
• Trivialmente, os planos, que podem ser compreendidos como cilindros cuja seção transversal é uma linha.
• Superfície tangente é um caso particular de superfície desenvolvível, tal que ${\displaystyle S(t,u)=C(t)+uC(t)}$. ^[4]

Essas superfícies podem ser mapeadas com o comprimento das curvas preservados, isto é, podem ser mapeadas isometricamente no plano. ^[6]

As superfícies desenvolvíveis foram utilizadas por Gehry & Partners, considerado um ícone no desconstrutivismo^[7], na estrutura de apoio do projeto Disney Concert Hall^[6], completado em 2003.^[7]

Além disso, a superfície da Terra pode ser representada diretamente por um superfície desenvolvível. Quando a superfície de projeção adotada é uma figura geométrica desenvolvível, a projeção é classificada como projeção por desenvolvimento. ^[8]

Grande parte das superfícies lisas, bem como a maioria das superfícies em geral, não são superfícies desenvolvíveis.

Algumas das superfícies não desenvolvíveis são:

• Esferas não são superfícies desenvolvíveis sob nenhuma métrica, pois não podem ser desenroladas em um plano.
• O helicoide é uma superfície regrada, mas, diferentemente das superfícies regradas mencionadas acima, não é uma superfície desenvolvível.
• O paraboloide hiperbólico e o hiperboloide são superfícies duplamente regradas ligeiramente diferentes, mas, diferentemente das superfícies regradas mencionadas acima, nenhuma delas é uma superfície desenvolvível.

Muitas estruturas de grade, estruturas de tração e construções similares ganham resistência ao usar formas duplamente curvadas.

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Developable surface», especificamente desta versão.