Quantidade conservada

Uma quantidade conservada é uma propriedade ou valor que permanece constante ao longo do tempo em um sistema, mesmo quando ocorrem mudanças nesse sistema. Na matemática, uma quantidade conservada de um sistema dinâmico é formalmente definida como uma função das variáveis ​​dependentes, cujo valor permanece constante ao longo de cada trajetória do sistema.^[1]

Nem todos os sistemas possuem quantidades conservadas, e as quantidades conservadas não são únicas, visto que é sempre possível produzir outra quantidade semelhante aplicando uma função adequada, como adicionar uma constante, a uma quantidade conservada.

Como muitas leis da física expressam algum tipo de conservação, as quantidades conservadas geralmente existem em modelos matemáticos de sistemas físicos. Por exemplo, qualquer modelo de mecânica clássica terá a energia mecânica como uma quantidade conservada, desde que as forças envolvidas sejam conservativas.

Ver artigo principal: Equação diferencial

Para um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

onde o negrito indica quantidades vetoriais, uma função de valor escalar H(r) é uma quantidade conservada do sistema se, para todos os tempos e condições iniciais em algum domínio específico,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=0}$

Observe que, ao usar a regra da cadeia multivariada,

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=\nabla H\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)}$

para que a definição possa ser escrita como

${\displaystyle \nabla H\cdot \mathbf {f} (\mathbf {r} ,t)=0}$

que contém informações específicas sobre o sistema e pode ser útil para encontrar quantidades conservadas ou para determinar se existe ou não uma quantidade conservada.

Ver artigo principal: Mecânica hamiltoniana

Para um sistema definido pelo hamiltoniano ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, uma função f das coordenadas generalizadas q e dos momentos generalizados p tem a seguinte evolução temporal:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

e, portanto, é conservada se e somente se ${\textstyle \{f,{\mathcal {H}}\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}=0}$. Aqui ${\displaystyle \{f,{\mathcal {H}}\}}$ denota o colchete de Poisson.

Ver artigo principal: Mecânica Lagrangiana

Suponha que um sistema seja definido pela Lagrangiana L com coordenadas generalizadas q. Se L não tem dependência temporal explícita (então ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=0}$), então a energia E definida por

${\displaystyle E=\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right]-L}$

é conservada.

Além disso, se ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial q}}=0}$, então q é dito ser uma coordenada cíclica e o momento generalizado p definido por

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

é conservada. Isso pode ser demonstrado usando as equações de Euler-Lagrange.

• Sistema conservativo
• Função de Lyapunov
• Sistema hamiltoniano
• Lei de conservação
• Teorema de Noether
• Carga
• Invariância

Referências