Operador pseudodiferencial

Um operador pseudo-diferencial é uma generalização do conceito de operador diferencial. É uma parte fundamental da teoria das equações diferenciais parciais. Os fundamentos da teoria foram desenvolvidos por Lars Hörmander.

Seja o operador diferencial linear com coeficientes constantes

${\displaystyle P(D):=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}$

operando sobre o espaço das funções infinitamente contínuas com suporte compacto em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Pode ser expresso como a composição de uma Transformada de Fourier, uma multiplicação com o polinômio

${\displaystyle P(\xi )=\sum _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }}$

e a transformada de Fourier inversa

${\displaystyle (1)\quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)dyd\xi }$,

sendo

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} _{0}^{n}}$ um índice múltiplo, ${\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\dots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}$ um operador diferencial, sendo ${\displaystyle \partial _{j}}$ a derivada parcial em relação à j-ésima variável e ${\displaystyle a_{\alpha }\,}$ são números complexos.

De forma análoga um operador pseudo-diferencial ${\displaystyle P(x,D)}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é um operador da forma

${\displaystyle (2)\quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi }$,

com uma função generalizada ${\displaystyle P}$ no integrando, como a seguir discutido.

A transformada de Fourier de uma função infinitamente diferenciável ${\displaystyle u}$, com suporte compacto em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, é

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi ):=\int e^{-iy\xi }u(y)dy}$

e a transformada de Fourier inversa fornece

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\hat {u}}(\xi )d\xi ={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }u(y)dyd\xi }$ .

Aplicando ${\displaystyle P(D)}$ sobre esta representação de ${\displaystyle u}$ e utilizando

${\displaystyle P(D_{x})\,e^{i(x-y)\xi }=e^{i(x-y)\xi }\,P(\xi )}$

resulta em (1).

A fim de resolver uma equação diferencial

${\displaystyle P(D)\,u=f}$

é aplicada nos dois lados uma transformada de Fourier, resultando uma equação algébrica

${\displaystyle P(\xi )\,{\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )}$ .

Caso o símbolo ${\displaystyle P(\xi )}$ não seja nulo para ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$, podemos dividir por ${\displaystyle P(\xi )}$

${\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}$ .

Aplicando a transformada inversa obtemos a solução

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )d\xi }$.

Na obten deste resultado as seguintes condições foram observadas:

1. ${\displaystyle P(D)}$ é um operador diferencial linear com coeficientes constantes,
2. seu símbolo ${\displaystyle P(\xi )}$ não é nulo,
3. a transformada de Fourier de u e f é definida.

A última condição pode ser enfraquecida utilizando a Teoria das distribuições. As duas primeiras condições podem ser enfraquecidas como segue. Na última fórmula substitui-se a transformada de Fourier de f:

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \int e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)dyd\xi }$.

Isto é semelhante à formula (1), só que aqui ${\displaystyle {\frac {1}{P(\xi )}}}$ não é um polinômio, e sim uma função generalizada.

Se ${\displaystyle P(x,\xi )}$ é uma função infinitamente diferenciável sobre ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$ com

${\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}$

para todo ${\displaystyle x,\xi }$, todo multi-índice ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, uma constante ${\displaystyle C_{\alpha ,\beta }}$ e números reais m, então P pertence à classe de símbolos ${\displaystyle S_{1,0}^{m}}$.

Seja P uma função infinitamente diferenciável da classe de símbolos ${\displaystyle S_{1,0}^{m}}$. Um operador pseudo-diferencial de ordem m é definido por

${\displaystyle P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(x,\xi )u(y)dyd\xi .}$

O conjunto dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m é denotado por ${\displaystyle \Psi _{1,0}^{m}}$.

• Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981, ISBN 0-691-08282-0
• ders. Partial differential equations, Bd. 1,2, Springer 1996, 1997, Bd.1 ISBN 0387946535, Bd.2 ISBN 0387946519
• M. A. Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer 2001. ISBN 3-540-41195-X
• Francois Treves Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, Plenum 1981. ISBN 0-306-40404-4
• F. G. Friedlander, M. Joshi Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
• José García-Cuerva Fourier Analysis and Partial Differential Equations, CRC Press 1995. ISBN 084937877X

• Mark Joshi, Lições sobre Operadores Pseudo-Diferenciais (em inglês)
• Jörg Seiler, Apostila sobre Operadores Pseudo-Diferenciais (em alemão)