Operador projeção ortogonal

Em matemática, sobretudo na análise funcional define-se operador projeção ortogonal, ou simplesmente, projetor ortogonal como um operador linear limitado ${\displaystyle P:H\to H\,}$ em um espaço de Hilbert ${\displaystyle H\,}$ que satisfaz:

• ${\displaystyle P^{2}=P\,}$(P é idempotente)

• ${\displaystyle P=P^{*}\,}$(P é auto adjunta)

A projeção ortogonal, é uma projeção cuja Imagem ${\displaystyle I\,}$e o núcleo ${\displaystyle N\,}$ são Ortogonais. Isto é, para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle H\,}$,

${\displaystyle \langle Px,(y-Py)\rangle =\langle (x-Px),Py\rangle =0}$. De forma equivalente:

${\displaystyle \langle x,Py\rangle =\langle Px,Py\rangle =\langle Px,y\rangle }$

Uma projeção é ortogonal se e só se é auto adjunta. Usando a propriedade auto adjunta e idempotencia de P, para quaisquer ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle H\,}$ temos que ${\displaystyle Px\in I\,}$, ${\displaystyle y-Py\in N\,}$e além disso

${\displaystyle \langle Px,y-py\rangle =\langle P^{2}x,y-Py\rangle =\langle Px,P(I-P)y\rangle =\langle Px,(P-P^{2})y\rangle =0}$

Onde ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ é o produto interno associado com ${\displaystyle H\,}$. Portanto, ${\displaystyle P}$ e ${\displaystyle I-P}$ são projeções ortogonais.

A outra direção, isto é, se ${\displaystyle P}$ é ortogonal então é auto adjunta segue de:

${\displaystyle \langle x,Py\rangle =\langle Px,y\rangle =\langle x,P^{*}y\rangle }$ para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle H\,}$

Portanto ${\displaystyle P=P^{*}}$

• O operador ${\displaystyle Q\,}$ definido como ${\displaystyle Q=I-P\,}$ é chamado de complemento ortogonal de P e, como é fácil ver, também um projetor ortogonal com a seguinte propriedade adicional:
  ${\displaystyle \langle Px,Qy\rangle =\langle QPx,y\rangle =\langle (I-P)Px,y\rangle =\langle (P-P^{2})x,y\rangle =0}$

• Uma projeção ortogonal é um operador limitado. Isso é porque para todo ${\displaystyle v}$ no espaço vetorial nós temos, por conta da desigualdade de Cauchy-Schwarz:
  ${\displaystyle \|Pv\|^{2}=\langle Pv,Pv\rangle =\langle Pv,v\rangle \leq \|Pv\|\cdot \|v\|}$
  Então ${\displaystyle \|Pv\|\leq \|v\|}$

• Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc.

• Operador auto-adjunto