Operador de defasagem

Em econometria de séries temporais, Operador de defasagem é o termo usado para designar o operador que representa o número de períodos associados a uma observação precedente.

O operador defasagem "L" é definido como sendo um operador linear tal que, para qualquer valor ${\displaystyle y_{t}}$, teremos^[1]:

${\displaystyle \,L^{i}y_{t}=y_{t-i}\,}$, ou seja, ${\displaystyle L^{i}={\frac {y_{t-i}}{y_{t}}}}$

onde ${\displaystyle L^{i}}$ significa simplesmente a defasagem de ${\displaystyle y_{t}}$ por "i" períodos.

As seguintes propriedades valem para os operadores defasagem

1. "i"pode assumir qualquer valor inteiro. Se assumir valor negativo, representa períodos à frente e não para trás:${\displaystyle \,L^{2}y_{t}=y_{t-2}\,}$, ${\displaystyle \,L^{-3}y_{t}=y_{t+3}\,}$
2. A defasagem de uma constante "c" é a constante: ${\displaystyle \,Lc=c\,}$^[1]
3. Distributiva: ${\displaystyle \left(L^{i}+L^{j}\right)\cdot y_{t}=L^{i}y_{t}+L^{j}y_{t}=y_{t-i}+y_{t-j}}$^[1]
4. Associativa da multiplicação: ${\displaystyle L^{i}\cdot L^{j}\cdot y_{t}=L^{i}\cdot \left(L^{j}y_{t}\right)=L^{i}\cdot y_{t-j}=y_{t-i-j}}$^[1]

Os operadores defasagem permitem uma notação concisa para escrever equações a diferença^[1].

Por exemplo, seja a equação de ordem "p"^[1]:

${\displaystyle y_{t}=a_{0}+a_{1}\cdot y_{t-1}+a_{2}\cdot y_{t-2}+...+a_{p}\cdot y_{t-p}+\varepsilon _{t}}$

Colocando todos os termos ${\displaystyle y_{t-i}}$ para o lado esquerdo da equação e os demais para o lado direito, temos:

${\displaystyle y_{t}-a_{1}\cdot y_{t-1}-a_{2}\cdot y_{t-2}-...-a_{p}\cdot y_{t-p}=a_{0}+\varepsilon _{t}}$

Colocando ${\displaystyle y_{t}}$ em evidência, temos:

${\displaystyle \left[1-a_{1}{\frac {y_{t-1}}{y_{t}}}-a_{2}{\frac {y_{t-2}}{y_{t}}}-...-a_{p}{\frac {y_{t-p}}{y_{t}}}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}$

Utilizando o operador defasagem, podemos escrever esta equação como:

${\displaystyle \left[1-a_{1}L-a_{2}L^{2}-...-a_{p}L^{p}\right]y_{t}=a_{0}+\varepsilon _{t}}$

ou, de maneira ainda mais compacta,

${\displaystyle A\left(L\right)y_{t}=a_{0}+B\left(L\right)\varepsilon _{t}}$,

onde ${\displaystyle A\left(L\right)}$ pode ser visto como um polinômio do operador defasagem. A notação ${\displaystyle A\left(1\right)}$ é usada para denotar a soma dos coeficientes:

${\displaystyle A\left(1\right)=1-a_{1}-a_{2}-...-a_{p}}$

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