Nó de fatia

Um nó de fatia é um nó matemático no espaço tridimensional que limita um disco embutido no espaço quadridimensional.

Um nó ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ é considerado um nó de fatia topológica ou um nó de fatia suave, se for a fronteira de um disco embebido na esfera quádrupla ${\displaystyle B^{4}}$, que é localmente plano ou suave, respectivamente. Aqui, usamos ${\displaystyle S^{3}=\partial B^{4}}$: a 3-esfera ${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |=1\}}$ é a fronteira da bola quadridimensional ${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |\leq 1\}.}$ Todo nó de fatia suave é topologicamente fatiado porque um disco suavemente inserido é localmente plano. Normalmente, nós de fatia suave também são chamados simplesmente de fatia. Ambos os tipos de nós de fatia são importantes em topologia tridimensional e quadridimensional.

Nós de fatia suave são frequentemente ilustrados usando diagramas de nós de nós de fita e é uma questão em aberto se existem nós de fatia suave que não sejam nós de fita (′Conjectura da fita-fatia′).

As condições localmente planas ou suaves são essenciais na definição: para cada nó, podemos construir o cone sobre o nó que é um disco na esfera quádrupla com a propriedade necessária, com a exceção de que ele não é localmente plano ou suave na singularidade (funciona para o nó trivial, no entanto).

Observe que o disco na ilustração à direita não possui autointerseções no espaço quadridimensional. Estas ocorrem apenas na projeção para o espaço tridimensional. Portanto, o disco está "corretamente" inserido em todos os pontos, mas não na singularidade (ele não é localmente plano nesse ponto).

Dois nós orientados ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ são considerados concordantes, se a soma conectada ${\displaystyle K_{1}\sharp -K_{2}}$ for uma fatia. Da mesma forma que antes, distinguimos topológica e suavemente concordante. Com ${\displaystyle -K_{2}}$ denotamos a imagem espelhada de ${\displaystyle K_{2}}$ onde, além disso, a orientação é invertida. A relação 'concordante' é reflexiva porque ${\displaystyle K\sharp -K}$ é uma fatia para cada nó ${\displaystyle K}$. Também é possível demonstrar que ela é transitiva: se ${\displaystyle K_{1}}$ é concordante com ${\displaystyle K_{2}}$ e ${\displaystyle K_{2}}$ é concordante com ${\displaystyle K_{3}}$, então ${\displaystyle K_{1}}$ é concordante com ${\displaystyle K_{3}}$. Como a relação também é simétrica, ela é uma relação de equivalência. As classes de equivalência, juntamente com a soma conexa de nós como operação, formam um grupo abeliano que é chamado de grupo de concordância de nós (topológicos ou suaves). O elemento neutro neste grupo é o conjunto de nós de fatia (topológicos ou suaves, respectivamente).

Todo nó de fita é um nó de fatia suave porque — com exceção das singularidades de fita — o nó já delimita um disco imerso (no espaço tridimensional). As singularidades de fita podem ser deformadas em uma pequena vizinhança no espaço quadridimensional, de modo que o disco fique imerso.

Existem 21 fatias não triviais nós primos com número de cruzamento ${\displaystyle cr(K)\leq 10}$. Estes são ${\displaystyle 6_{1}}$, ${\displaystyle 8_{8}}$, ${\displaystyle 8_{9}}$, ${\displaystyle 8_{20}}$, ${\displaystyle 9_{27}}$, ${\displaystyle 9_{41}}$, ${\displaystyle 9_{46}}$, ${\displaystyle 10_{3}}$, ${\displaystyle 10_{22}}$, ${\displaystyle 10_{35}}$, ${\displaystyle 10_{42}}$, ${\displaystyle 10_{48}}$, ${\displaystyle 10_{75}}$, ${\displaystyle 10_{87}}$, ${\displaystyle 10_{99}}$, ${\displaystyle 10_{123}}$, ${\displaystyle 10_{129}}$, ${\displaystyle 10_{137}}$, ${\displaystyle 10_{140}}$, ${\displaystyle 10_{153}}$ e ${\displaystyle 10_{155}}$. Até esse número de cruzamento não há nós de fatias topológicas que não sejam de fatias suaves.^[1] Começando com o número de cruzamento 11, no entanto, há um exemplo: O nó Conway (nomeado em homenagem a John Horton Conway) é um nó de fatias topológicas, mas não suaves.^[2] Por outro lado, o nó Kinoshita-Terasaka, um chamado ′mutante′ do nó Conway, é suavemente cortado. Nó de torção são, exceto o nó trivial e o nó de Stevedore ${\displaystyle 6_{1}}$, não fatiados.^[3] Todos os nós de fatia topológica e suavemente com número de cruzamento ${\displaystyle cr(K)\leq 12}$ são conhecidos.^[4] Os nós de fatias compostas até o cruzamento de número 12 são, além daqueles da forma ${\displaystyle K\sharp -K}$ e ${\displaystyle 6_{1}\sharp 3_{1}\sharp -3_{1}}$, os dois nós mais interessantes ${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{10}}$ e ${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{11}}$.^[5]

As seguintes propriedades são válidas para nós de fatias topológicas e suaves: O polinômio de Alexander de um nó de fatias pode ser escrito como ${\displaystyle \Delta (t)=f(t)f(t^{-1})}$ com um Laurent polinômio ${\displaystyle f}$ com coeficientes inteiros (condição de Fox-Milnor).^[6] Segue-se que o determinante do nó (${\displaystyle =\Delta (-1)}$) é um número quadrado.

A assinatura é uma invariante das classes de concordância e a assinatura dos nós de fatia é zero. Além disso, o mapa de assinaturas é um homomorfismo do grupo de concordância para os inteiross: A assinatura da soma de duas classes de concordância é a soma das duas assinaturas.

• Segue-se que o grupo de concordância contém elementos de ordem infinita: A assinatura de um nó trevo é ±2 e a assinatura da classe de concordância da soma conexa de ${\displaystyle n}$ trevos é ${\displaystyle \pm 2n}$ e, portanto, não é 0.
• O grupo de concordância também contém elementos de ordem 2: O nó em forma de oito ${\displaystyle 4_{1}}$ é anfiquiral e invertível, e, portanto, temos ${\displaystyle 4_{1}=-4_{1}}$. No grupo de concordância, encontramos ${\displaystyle 4_{1}\sharp 4_{1}=4_{1}\sharp -4_{1}=0}$. Como o determinante do nó em forma de oito é 5, que não é um número quadrado, este nó não é uma fatia e, portanto, sua ordem no grupo de concordância é 2. É claro que nós com ordem finita no grupo de concordância sempre têm assinatura 0.

Para ambas as variantes do grupo de concordância, não se sabe se existem elementos de ordem finita ${\displaystyle >2}$.

Por outro lado, existem invariantes com propriedades diferentes para as duas variantes de concordância: Nós com polinômio de Alexander trivial (${\displaystyle \Delta (t)=1}$) são sempre fatiados topologicamente, mas não necessariamente fatiados suavemente (o nó de Conway é um exemplo disso). A invariante s de Rasmussen desaparece para fatias suavemente, mas em geral não para nós fatiados topologicamente.^[7]

• Dale Rolfsen: Nós e Vínculos, Publique ou Pereça, 1976, Capítulo 8.E
• Charles Livingston: Teoria dos nós, Carus Mathematical Monographs, 1993
• Charles Livingston: Uma Pesquisa sobre a Concordância Clássica dos Nós, Capítulo 7 em “Manual de Teoria dos Nós”, Elsevier, 2005

Referências

• Peter Teichner: Slice knots: knot theory in the 4th dimension