Método do domínio fictício

Em matemática, o Método do domínio fictício é um método para encontrar as soluções de uma equação diferencial parcial em um domínio complicado ${\displaystyle D}$, substituindo um dado problema em um domínio ${\displaystyle D}$ por um novo problema em um domínio simples ${\displaystyle \Omega }$ contendo ${\displaystyle D}$

Considere uma área ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ na qual queiramos encontrar a solução ${\displaystyle u(x)}$ da equação:

${\displaystyle Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D}$

com Condições de fronteira:

${\displaystyle lu=g(x),x\in \partial D\,}$

A ideia do método do domínio fictício é basicamente substituir um problema dado em um domínio ${\displaystyle D}$, por um novo problema em um simples domínio ${\displaystyle \Omega }$ contendo ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle D\subset \Omega }$). Por exemplo, podemos escolher um paralelepípedo n-dimensional como ${\displaystyle \Omega }$.

Problema no domínio ${\displaystyle \Omega }$ para a nova solução ${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$:

${\displaystyle L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega }$

${\displaystyle l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega }$

É necessário levar o problema a uma área estendida para que as seguintes condições sejam satisfeitas:

${\displaystyle u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D\,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)}$

${\displaystyle u(0)=0,u(1)=0\,}$

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ solução do problema:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)}$

O coeficiente descontínuo ${\displaystyle k^{\epsilon }(x)}$ e o lado direito da equação anterior obtemos das expressões:

${\displaystyle k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$

${\displaystyle (3)}$

${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}}$

Condições de fronteira:

${\displaystyle u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(1)=0}$

Condições de conexão no ponto ${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

onde ${\displaystyle [\cdot ]}$ significa:

${\displaystyle [p(x)]=p(x+0)-p(x-0)\,}$

A equação (1) tem solução analítica portanto podemos facilmente obter o erro:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1}$

${\displaystyle u_{\epsilon }(x)}$ solução do problema:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)}$

Onde ${\displaystyle \phi ^{\epsilon }(x)}$ pegamos como em (3), e a expressão para ${\displaystyle c^{\epsilon }(x)}$

${\displaystyle c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}}$

como condições de fronteira para a equação (4) assim como para (2).

Condições de conexão do ponto ${\displaystyle x=1}$:

${\displaystyle [u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0}$

Erro:

${\displaystyle u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1}$

• P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Preprint CC SA USSR, 68, 1979.
• Bugrov A.N., Smagulov S. Fictitious Domain Method for Navier–Stokes equation, Mathematical model of fluid flow, Novosibirsk, 1978, p. 79–90