Limite superior e limite inferior

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.

Considere uma sequência ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,}$ de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:

${\displaystyle A_{N}=\sup _{n\geq N}a_{n}\,}$

A sequência ${\displaystyle A_{N}\,}$ é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada ${\displaystyle A_{N}\,}$ for infinito) e é o ínfimo da sequência.

O limite superior de ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,}$ é então definido o limite da sequência ${\displaystyle A_{N}\,}$. Denota-se:

• ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}=\inf _{N\in \mathbb {N} }\sup _{n\geq N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sup _{n\geq N}a_{n}\,}$

E, de forma perfeitamente análoga, define-se o limite inferior:

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}=\sup _{N\in \mathbb {N} }\inf _{n\geq N}a_{n}=\lim _{N\to \infty }\inf _{n\geq N}a_{n}\,}$

Sejam ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,}$ e ${\displaystyle \{b_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\,}$ sequências de números reais, então valem as afirmações:

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,}$
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }-a_{n}=-\limsup _{n\to \infty }a_{n}\,}$
• ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\limsup _{n\to \infty }b_{n}\,}$
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\liminf _{n\to \infty }b_{n}\,}$
• Seja ${\displaystyle \{a_{n(k)}\}}$ uma subsequência de ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ que possua limite, então ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(a_{n(k)}\right)\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}\,}$

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.

Se ${\displaystyle E_{n}\,}$ é uma sequência de conjuntos, então define-se:

• O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos ${\displaystyle E_{n}\,}$.
• O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos ${\displaystyle E_{n}\,}$ exceto por um número finito deles.

Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:

• ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}={\overline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}\,}$
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E_{n}={\underline {\lim _{n\to \infty }}}E_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k=n}^{\infty }E_{k}\,}$

É sempre verdade que ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }E_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }E_{n}\,}$. Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E_{n}=\liminf _{n\to \infty }E_{n}=\limsup _{n\to \infty }E_{n}\,}$