Lema de Yoneda

Na teoria das categorias, o lema de Yoneda diz que há bijeção, natural no objeto ${\displaystyle c\in C}$ e no functor ${\displaystyle F:C\to {\mathsf {Set}}}$, $${\displaystyle \mathrm {Nat} (\hom _{C}(c,-),F)\cong F(c),}$$ levando cada transformação natural ${\displaystyle \alpha :\hom _{C}(c,-){\dot {\to }}F}$ ao elemento ${\displaystyle \alpha _{c}(1_{c})\in F(c)}$.^[1] O nome do resultado, referenciando o matemático japonês Nobuo Yoneda, foi escolhido por Saunders Mac Lane, após um encontro na França.^[2][3]

O lema de Yoneda implica que ${\displaystyle \mathrm {Nat} (\hom _{C}(c,-),\hom _{C}(d,-))\cong \hom _{C}(d,c)}$; isto é, a imersão de Yoneda ${\displaystyle y:C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}^{C}}$, definida por $${\displaystyle y(c)=\hom _{C}(c,-),}$$ $${\displaystyle y(f:d\to c)=-\circ f:\hom _{C}(c,-){\dot {\to }}\hom _{C}(d,-)}$$ é um functor pleno e fiel.^[1] Em particular, cada functor representável é representado por objeto único a menos de isomorfismo: ${\displaystyle \hom _{C}(c,-)\cong \hom _{C}(d,-)}$ implica ${\displaystyle c\cong d}$.^[4]

Referências

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.] 
• MAC LANE, Saunders (1997). Categories for the Working Mathematician. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8