Lema de Riemann-Lebesgue

Em matemática, o Lema de Riemann-Lebesgue recebe o nome em honra aos matemáticos Bernhard Riemann e Henri Lebesgue.

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \,}$ uma função L¹. Então:

${\displaystyle \lim _{w\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f(x)\cos(wx)dx=\lim _{w\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f(x)\sin(wx)dx=0}$

Equivalentemente, pode-se escrever:

${\displaystyle \lim _{w\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{iwx}dx=0}$

Ou seja, a transformada de Fourier de ${\displaystyle f\,}$ converge para zero, quando ${\displaystyle w\,}$ vai a infinito.

O lema de Riemann-Lebesgue mostra que a sequência ${\displaystyle \sin(nt)}$ converge fracamente para 0 no espaço de Hilbert L2 (a,b).