Lema de Fodor

Em matemática, especialmente na teoria dos conjuntos, o lema de Fodor afirma o seguinte:

Se ${\displaystyle \kappa }$ é um regular cardinal enumerável, ${\displaystyle S}$ é um sub-conjunto estacionário de ${\displaystyle \kappa }$ , e ${\displaystyle f:S\rightarrow \kappa }$ é regressivo (isto é, ${\displaystyle f(\alpha )<\alpha }$ para qualquer ${\displaystyle \alpha \in S}$, ${\displaystyle \alpha \neq 0}$) então há alguma ${\displaystyle \gamma }$ e algum estacionário ${\displaystyle S_{0}\subseteq S}$ de forma que ${\displaystyle f(\alpha )=\gamma }$ para qualquer ${\displaystyle \alpha \in S_{0}}$. Em linguagem moderna, o não-estacionário ideal é "normal".

O lema foi provado pelo teórico de conjunto húngaro, Géza Fodor^[1] em 1956.

Nós podemos supor que ${\displaystyle 0\notin S}$ (através da remoção de 0, se necessário). Se o lema de Fodor é falso, para cada ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ há algum conjunto clube^{[nota 1]} ${\displaystyle C_{\alpha }}$ de forma que ${\displaystyle C_{\alpha }\cap f^{-1}(\alpha )=\emptyset }$ permita ${\displaystyle C=\Delta _{\alpha <\kappa }C_{\alpha }}$.

Os conjuntos clube são fechados sob a intersecção diagonal^[2], assim ${\displaystyle C}$ também é clube e, portanto, há algum ${\displaystyle \alpha \in S\cap C}$. Assim ${\displaystyle \alpha \in C_{\beta }}$ para cada ${\displaystyle \beta <\alpha }$, e assim não pode existir ${\displaystyle \beta <\alpha }$ such that ${\displaystyle \alpha \in f^{-1}(\beta )}$, então ${\displaystyle f(\alpha )\geq \alpha }$, uma contradição. O Lema de Fodor também se aplica na noção de Thomas Jech de conjuntos estacionários, bem como para a noção geral de conjunto estacionário.

• Géza Fodor

Notas e referências

Notas

Referências