Lema de Chow

Lema de Chow, em homenagem a Wei-Liang Chow, é um dos resultados fundamentais em geometria algébrica. Diz aproximadamente que um morfismo próprio está bastante próximo de ser um morfismo projetivo. Mais precisamente, uma versão afirma o seguinte:^[1]

Se ${\displaystyle X}$ é um esquema que é próprio sobre um esquema Noetheriano base ${\displaystyle S}$, então existe uma variedade projetiva ${\displaystyle S}$-esquema ${\displaystyle X'}$ e um ${\displaystyle S}$-morfismo sobrejetivo ${\displaystyle f:X'\to X}$ que induz um isomorfismo ${\displaystyle f^{-1}(U)\simeq U}$ para algum para algum aberto denso ${\displaystyle U\subseteq X.}$

A prova aqui é padrão.^[2]

Podemos primeiro reduzir ao caso em que ${\displaystyle X}$ é irredutível. Para começar, ${\displaystyle X}$ é noetheriano, pois é de tipo finito sobre uma base noetheriana. Portanto, ele tem um número finito de componentes irredutíveis ${\displaystyle X_{i}}$, e afirmamos que para cada ${\displaystyle X_{i}}$ existe um esquema ${\displaystyle S}$ próprio irredutível ${\displaystyle Y_{i}}$ de modo que ${\displaystyle Y_{i}\to X}$ tenha uma imagem teórica de conjuntos ${\displaystyle X_{i}}$ e seja um isomorfismo no subconjunto denso aberto ${\displaystyle X_{i}\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ de ${\displaystyle X_{i}}$. Para ver isso, defina ${\displaystyle Y_{i}}$ como a imagem teórica do esquema da imersão aberta.

${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X.}$

Como ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}}$ é teoricamente definido noetheriano para cada ${\displaystyle i}$, o mapa ${\displaystyle X\setminus \cup _{j\neq i}X_{j}\to X}$ é quase compacto e podemos calcular esta imagem teórica do esquema afim localmente em ${\displaystyle X}$, provando imediatamente as duas afirmações. Se pudermos produzir para cada ${\displaystyle Y_{i}}$ um esquema ${\displaystyle S}$ projetivo ${\displaystyle Y_{i}'}$ como no enunciado do teorema, então podemos tomar ${\displaystyle X'}$ será a união disjunta ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ e ${\displaystyle f}$ será a composição ${\displaystyle \coprod Y_{i}'\to \coprod Y_{i}\to X}$: este mapa é projetivo e um isomorfismo sobre um conjunto denso e aberto de ${\displaystyle X}$, enquanto ${\displaystyle \coprod Y_{i}'}$ é um ${\displaystyle S}$ projetivo, pois é uma união finita de esquemas ${\displaystyle S}$ projetivos. Como cada ${\displaystyle Y_{i}}$ é próprio sobre ${\displaystyle S}$, completamos a redução ao caso ${\displaystyle X}$ irredutível.

A seguir, mostraremos que ${\displaystyle X}$ pode ser coberto por um número finito de subconjuntos abertos ${\displaystyle U_{i}}$ de modo que cada ${\displaystyle U_{i}}$ seja quase projetivo sobre ${\displaystyle S}$. Para fazer isso, podemos, por quase compactação, primeiro cobrir ${\displaystyle S}$ com um número finito de aberturas afins ${\displaystyle S_{j}}$, e então cobrir a pré-imagem de cada ${\displaystyle S_{j}}$ em ${\displaystyle X}$ por um número finito de aberturas afins ${\displaystyle X_{jk}}$ cada uma com uma imersão fechada em ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}}$ desde ${\displaystyle X\to S}$ é de tipo finito e, portanto, quase compacto. Compondo este mapa com as imersões abertas ${\displaystyle \mathbb {A} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}}$ e ${\displaystyle \mathbb {P} _{S_{j}}^{n}\to \mathbb {P} _{S}^{n}}$, vemos que cada ${\displaystyle X_{ij}}$ é um subesquema fechado de um subesquema aberto de ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$. Como ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}^{n}}$ é noetheriano, todo subesquema fechado de um subesquema aberto também é um subesquema aberto de um subesquema fechado e, portanto, cada ${\displaystyle X_{ij}}$ é quase projetivo sobre ${\displaystyle S}$.

Agora suponha que ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ seja uma cobertura aberta finita de ${\displaystyle X}$ por esquemas ${\displaystyle S}$ quase-projetivos, com ${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to P_{i}}$ uma imersão aberta em um esquema ${\displaystyle S}$ projetivo. Defina ${\displaystyle U=\cap _{i}U_{i}}$, que não é vazio, pois ${\displaystyle X}$ é irredutível. As restrições do ${\displaystyle \phi _{i}}$ para ${\displaystyle U}$ definem um morfismo

${\displaystyle \phi :U\to P=P_{1}\times _{S}\cdots \times _{S}P_{n}}$

de modo que ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}=U{\stackrel {\phi }{\to }}P{\stackrel {p_{i}}{\to }}P_{i}}$, onde ${\displaystyle U\to U_{i}}$ é a injeção canônica e ${\displaystyle p_{i}:P\to P_{i}}$ é a projeção. Deixando ${\displaystyle j:U\to X}$ denotar a imersão aberta canônica, definimos ${\displaystyle \psi =(j,\phi )_{S}:U\to X\times _{S}P}$, que afirmação é uma imersão. Para ver isso, observe que esse morfismo pode ser fatorado como o morfismo do gráfico ${\displaystyle U\to U\times _{S}P}$ (que é uma imersão fechada já que ${\displaystyle P\to S}$ é separado) seguida pela imersão aberta ${\displaystyle U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$; como ${\displaystyle X\times _{S}P}$ é noetheriano, podemos aplicar a mesma lógica de antes para ver que podemos trocar a ordem das imersões abertas e fechadas.

Agora seja ${\displaystyle X'}$ a imagem teórica do esquema de ${\displaystyle \psi }$, e fatore ${\displaystyle \psi }$ como

${\displaystyle \psi :U{\stackrel {\psi '}{\to }}X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P}$

onde ${\displaystyle \psi '}$ é uma imersão aberta e ${\displaystyle h}$ é uma imersão fechada. Sejam ${\displaystyle q_{1}:X\times _{S}P\to X}$ e ${\displaystyle q_{2}:X\times _{S}P\to P}$ as projeções canônicas. Definir

${\displaystyle f:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{1}}{\to }}X,}$

${\displaystyle g:X'{\stackrel {h}{\to }}X\times _{S}P{\stackrel {q_{2}}{\to }}P.}$

Mostraremos que ${\displaystyle X'}$ e ${\displaystyle f}$ satisfazem a conclusão do teorema.

Para mostrar que ${\displaystyle f}$ é surjectiva, notamos primeiro que é própria e portanto fechada. Como a sua imagem contém o conjunto aberto denso ${\displaystyle U\subset X}$, vemos que ${\displaystyle f}$ tem de ser sobrejetiva. É também fácil ver que ${\displaystyle f}$ induz um isomorfismo em ${\displaystyle U}$: podemos apenas combinar os factos de que ${\displaystyle f^{-1}(U)=h^{-1}(U\times _{S}P)}$ e ${\displaystyle \psi }$ é um isomorfismo sobre a sua imagem, pois ${\displaystyle \psi }$ factoriza como a composição de uma imersão fechada seguida de uma imersão aberta ${\displaystyle U\to U\times _{S}P\to X\times _{S}P}$. Resta mostrar que ${\displaystyle X'}$ é projetivo sobre ${\displaystyle S}$.

Fá-lo-emos mostrando que ${\displaystyle g:X'\to P}$ é uma imersão. Definimos as seguintes quatro famílias de subesquemas abertos:

${\displaystyle V_{i}=\phi _{i}(U_{i})\subset P_{i}}$

${\displaystyle W_{i}=p_{i}^{-1}(V_{i})\subset P}$

${\displaystyle U_{i}'=f^{-1}(U_{i})\subset X'}$

${\displaystyle U_{i}''=g^{-1}(W_{i})\subset X'.}$

Como o ${\displaystyle U_{i}}$ cover ${\displaystyle X}$, o ${\displaystyle U_{i}'}$ cover ${\displaystyle X'}$, e queremos mostrar que o ${\displaystyle U_{i}''}$ também cobre ${\displaystyle X'}$. Faremos isso mostrando que ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ para todo ${\displaystyle i}$. Basta mostrar que ${\displaystyle p_{i}\circ g|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ é igual a ${\displaystyle \phi _{i}\circ f|_{U_{i}'}:U_{i}'\to P_{i}}$ como mapa de espaços topológicos. Substituindo ${\displaystyle U_{i}'}$ pela sua redução, que tem o mesmo espaço topológico subjacente, temos que os dois morfismos ${\displaystyle (U_{i}')_{red}\to P_{i}}$ são ambos extensões de o mapa subjacente do espaço topológico ${\displaystyle U\to U_{i}\to P_{i}}$, então pelo lema reduzido a separado eles devem ser iguais, pois ${\displaystyle U}$ é topologicamente denso em ${\displaystyle U_{i}}$. Portanto ${\displaystyle U_{i}'\subset U_{i}''}$ para todo ${\displaystyle i}$ e a afirmação é comprovada. O resultado é que os ${\displaystyle W_{i}}$ cover ${\displaystyle g(X')}$, e podemos verificar que ${\displaystyle g}$ é uma imersão verificando que ${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$ é uma imersão para todos os ${\displaystyle i}$. Para isso, considere o morfismo.

O resultado é que os ${\displaystyle W_{i}}$ cobrem ${\displaystyle g(X')}$, e podemos verificar que ${\displaystyle g}$ é uma imersão verificando que ${\displaystyle g|_{U_{i}''}:U_{i}''\to W_{i}}$ é uma imersão para todos os ${\displaystyle i}$. Para isso, considere o morfismo

${\displaystyle u_{i}:W_{i}{\stackrel {p_{i}}{\to }}V_{i}{\stackrel {\phi _{i}^{-1}}{\to }}U_{i}\to X.}$

Como ${\displaystyle X\to S}$ é separado, o morfismo do grafo ${\displaystyle \Gamma _{u_{i}}:W_{i}\to X\times _{S}W_{i}}$ é uma imersão fechada e o grafo ${\displaystyle T_{i}=\Gamma _{u_{i}}(W_{i})}$ é um subesquema fechado de ${\displaystyle X\times _{S}W_{i}}$; se mostrarmos que ${\displaystyle U\to X\times _{S}W_{i}}$ fatora através deste gráfico (onde consideramos ${\displaystyle U\subset X'}$ através da nossa observação de que ${\displaystyle f}$ é um isomorfismo sobre ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ anterior), então o mapa de ${\displaystyle U_{i}''}$ também deve fatorar este gráfico pela construção do esquema- imagem teórica. Como a restrição de ${\displaystyle q_{2}}$ a ${\displaystyle T_{i}}$ é um isomorfismo de ${\displaystyle W_{i}}$, a restrição de ${\displaystyle g}$ a ${\displaystyle U_{i}''}$ será uma imersão em ${\displaystyle W_{i}}$, e nossa afirmação será comprovada. Seja ${\displaystyle v_{i}}$ a injeção canônica ${\displaystyle U\subset X'\to X\times _{S}W_{i}}$; temos que mostrar que existe um morfismo ${\displaystyle w_{i}:U\subset X'\to W_{i}}$ tal que ${\displaystyle v_{i}=\Gamma _{u_{i}}\circ w_{i}}$. Pela definição do produto de fibra, basta provar que ${\displaystyle q_{1}\circ v_{i}=u_{i}\circ q_{2}\circ v_{i}}$, ou identificando ${\displaystyle U\subset X}$ and ${\displaystyle U\subset X'}$, que ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =u_{i}\circ q_{2}\circ \psi }$. Entretanto ${\displaystyle q_{1}\circ \psi =j}$ and ${\displaystyle q_{2}\circ \psi =\phi }$, então a conclusão desejada segue da definição de ${\displaystyle \phi :U\to P}$ e ${\displaystyle g}$ é uma imersão. Como ${\displaystyle X'\to S}$ é próprio, qualquer morfismo ${\displaystyle S}$ de ${\displaystyle X'}$ é fechado e, logo, ${\displaystyle g:X'\to P}$ é uma imersão fechada, então ${\displaystyle X'}$ é projetivo. ${\displaystyle \blacksquare }$

Referências

• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0 
• Shatz, Stephen S. (1979), «Review: Robin Hartshorne, Algebraic geometry», Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1 (3): 553–560, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14618-4