Em trigonometria, a lei das tangentes[1] estabelece a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos de seus lados opostos. Tal proposição foi descoberta por volta de 1580, pelo matemático François Viète.[2]
Sejam a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo e α, β e γ, os respectivos ângulos opostos a estes três lados. A lei das tangentes estabelece que
Proposição
Seja um triângulo não isósceles e não retângulo cujos ângulos internos e medidas dos lados estão indicadas na figura.
A lei das tangentes estabelece que, para qualquer triângulo que não seja isósceles nem retângulo, valem as seguintes relações:
Demonstração
Para demonstrar a Lei das tangentes, podemos partir da Lei dos senos:
Usando uma propriedade das proporções, temos que:
Substituindo nessa equação as fórmulas de transformação de soma em produto, temos:
Analogamente, pode-se provar as outras duas relações.
![{\displaystyle {\dfrac {a-b}{a+b}}={\dfrac {\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right]}{\tan \left[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right]}}.}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/282bcf9f6d8c179e013d828c4752e053565ddad1.svg)
![{\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}},}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99733869a4fc613c1e3e67384da4491ddc62080a.svg)
![{\displaystyle {\frac {a+c}{a-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {C}})]}},}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/842c1df3b4a8c76baa0f2fb405289e75b9ecccc2.svg)
![{\displaystyle {\frac {b+c}{b-c}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}+{\widehat {C}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {B}}-{\widehat {C}})]}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03adc00954bb42600ec2f5b2d2c4c23ecf32d23e.svg)
![{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}+{\widehat {B}})]}{\tan[{\frac {1}{2}}({\widehat {A}}-{\widehat {B}})]}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b580e2cd91f17569311450f2622a94ad82c0163.svg)