Lanterna de Schwarz

Na matemática, a Lanterna de Schwarz é uma aproximação polédrica de um cilindro, usada como exemplo patológico da dificuldade em definir a área de uma superfície curva suave como o limite das áreas de poliedros. Ela é formada por anéis empilhados de triângulos isósceles, dispostos em cada anel seguindo o padrão de um antiprisma. A forma resultante pode ser dobrada a partir de papel e é nomeada em homenagem ao matemático Hermann Schwarz devido à sua semelhança com uma lanterna de papel cilíndrica.^[1] Também é conhecida como bota de Schwarz,^[2] poliedro de Schwarz^[3] ou lanterna chinesa.^[4]

Como Schwarz demonstrou, para que a área da superfície [en] de um poliedro convirja para a área de uma superfície curva, não basta apenas aumentar o número de anéis e o número de triângulos isósceles por anel. Dependendo da relação entre o número de anéis e o número de triângulos por anel, a área da lanterna pode convergir para a área do cilindro, para um limite arbitrariamente maior que a área do cilindro ou para o infinito — em outras palavras, a área pode divergir. A lanterna de Schwarz demonstra que amostrar uma superfície curva com pontos muito próximos e conectá-los por pequenos triângulos não é suficiente para garantir uma aproximação precisa da área, em contraste com a aproximação precisa do comprimento de arco por cadeia poligonal inscrita.

O fenômeno em que pontos amostrados de forma próxima podem levar a aproximações imprecisas da área é chamado de paradoxo de Schwarz.^[5][6] A lanterna de Schwarz é um exemplo instrutivo em cálculo e destaca a necessidade de cuidado ao escolher uma triangulação para aplicações em gráficos por computador e no método dos elementos finitos.

Arquimedes aproximou a circunferência de círculos pelo comprimento de polígonos regulares inscritos ou circunscritos.^[7] De forma mais geral, o comprimento de qualquer curva suave ou retificável pode ser definido como o supremo dos comprimentos de cadeias poligonais inscritas nela.^[8] No entanto, para que isso funcione corretamente, os vértices das cadeias poligonais devem estar na curva dada, e não apenas próximos a ela. Caso contrário, em um contraexemplo conhecido como paradoxo da escada [en], cadeias poligonais de segmentos de linha verticais e horizontais com comprimento total ${\displaystyle 2}$ podem estar arbitrariamente próximas de um segmento de linha diagonal de comprimento ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, convergindo em distância para o segmento diagonal, mas não convergindo para o mesmo comprimento. A lanterna de Schwarz fornece um contraexemplo para a área de superfície em vez do comprimento^[9] e mostra que, para a área, exigir que os vértices estejam na superfície aproximada não é suficiente para garantir uma aproximação precisa.^[1]

O matemático alemão Hermann Schwarz (1843–1921) criou sua construção no final do século XIX^{[nota 1]} como um contraexemplo à definição errônea no livro de J. A. Serret de 1868, Cours de calcul différentiel et intégral, que afirma incorretamente:^[12]

Independentemente de Schwarz, Giuseppe Peano encontrou o mesmo contraexemplo.^[10] Na época, Peano era estudante de Angelo Genocchi [en], que, por meio de comunicação com Schwarz, já conhecia a dificuldade de definir a área de superfície. Genocchi informou Charles Hermite, que estava usando a definição errônea de Serret em seu curso. Hermite pediu detalhes a Schwarz, revisou seu curso e publicou o exemplo na segunda edição de suas notas de aula (1883).^[11] A nota original de Schwarz para Hermite não foi publicada até a segunda edição das obras completas de Schwarz, em 1890.^[13][14]

Um exemplo instrutivo do valor de definições cuidadosas em cálculo,^[5] a lanterna de Schwarz também destaca a necessidade de cuidado na escolha de uma triangulação para aplicações em gráficos por computador e no método dos elementos finitos para simulações científicas e de engenharia.^[6][15] Em gráficos por computador, cenas são frequentemente descritas por superfícies trianguladas, e a renderização precisa da iluminação dessas superfícies depende da direção das normais de superfície. Uma escolha inadequada de triangulação, como na lanterna de Schwarz, pode produzir uma superfície semelhante a um acordeão cujas normais estão muito distantes das normais da superfície aproximada, e as dobras agudas e próximas dessa superfície também podem causar problemas com aliasing.^[6]

A falha das lanternas de Schwarz em convergir para a área do cilindro ocorre apenas quando incluem triângulos altamente obtusos, com ângulos próximos a 180°. Em classes restritas de lanternas de Schwarz que usam ângulos limitados a menos de 180°, a área converge para a mesma área do cilindro à medida que o número de triângulos cresce para o infinito. O método dos elementos finitos, em sua forma mais básica, aproxima uma função suave (frequentemente, a solução de um problema de simulação física em ciência ou engenharia) por uma função linear por partes em uma triangulação. O exemplo da lanterna de Schwarz mostra que, mesmo para funções simples, como a altura de um cilindro acima de um plano que passa por seu eixo, e mesmo quando os valores da função são calculados com precisão nos vértices da triangulação, uma triangulação com ângulos próximos a 180° pode produzir resultados de simulação altamente imprecisos. Isso motiva métodos de geração de malhas em que todos os ângulos são limitados a menos de 180°, como malhas não obtusas [en].^[15]

A aproximação polédrica discreta considerada por Schwarz pode ser descrita por dois parâmetros: ${\displaystyle m}$, o número de anéis de triângulos na lanterna de Schwarz; e ${\displaystyle n}$, metade do número de triângulos por anel.^{[16][nota 2]} Para um único anel (${\displaystyle m=1}$), a superfície resultante consiste nas faces triangulares de um antiprisma de ordem ${\displaystyle n}$. Para valores maiores de ${\displaystyle m}$, a lanterna de Schwarz é formada pelo empilhamento de ${\displaystyle m}$ desses antiprismas.^[6] Para construir uma lanterna de Schwarz que aproxime um dado cilindro circular reto, o cilindro é dividido por planos paralelos em ${\displaystyle m}$ anéis cilíndricos congruentes. Esses anéis têm ${\displaystyle m+1}$ contornos circulares — dois nas extremidades do cilindro dado e ${\displaystyle m-1}$ adicionais onde foi dividido. Em cada círculo, ${\displaystyle n}$ vértices da lanterna de Schwarz são espaçados igualmente, formando um polígono regular. Esses polígonos são rotacionados por um ângulo de ${\displaystyle \pi /n}$ de um círculo para o próximo, de modo que cada aresta de um polígono regular e o vértice mais próximo no próximo círculo formem a base e o ápice de um triângulo isósceles. Esses triângulos se encontram aresta com aresta para formar a lanterna de Schwarz, uma superfície polédrica topologicamente equivalente ao cilindro.^[16]

Padrão de dobras de origami para uma lanterna de Schwarz com ${\displaystyle m=16}$ e ${\displaystyle n=4}$

Detalhe de uma bota na pintura São Floriano [en] (1473) de Francesco del Cossa, mostrando encurvadura Yoshimura [en].

Ignorando os vértices superior e inferior, cada vértice toca dois ângulos de ápice e quatro ângulos de base de triângulos isósceles congruentes, assim como em uma tesselação do plano por triângulos da mesma forma. Como consequência, a lanterna de Schwarz pode ser dobrada a partir de uma folha plana de papel, com essa tesselação como seu padrão de dobras.^[18] Esse padrão de dobras foi chamado de padrão Yoshimura,^[19] em referência ao trabalho de Y. Yoshimura sobre o encurvadura Yoshimura [en] de superfícies cilíndricas sob compressão axial, que pode ser semelhante em forma à lanterna de Schwarz.^[20]

A área da lanterna de Schwarz, para qualquer cilindro e qualquer escolha específica dos parâmetros ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, pode ser calculada por uma aplicação direta de trigonometria. Um cilindro de raio ${\displaystyle r}$ e comprimento ${\displaystyle \ell }$ tem área ${\displaystyle 2\pi r\ell }$. Para uma lanterna de Schwarz com parâmetros ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, cada faixa é um cilindro mais curto de comprimento ${\displaystyle \ell /m}$, aproximado por ${\displaystyle 2n}$ triângulos isósceles. O comprimento da base de cada triângulo pode ser encontrado pela fórmula do comprimento da aresta de um ${\displaystyle n}$-gono regular, ou seja,^[16]$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\pi }{n}}.}$$A altura ${\displaystyle h}$ de cada triângulo pode ser encontrada aplicando o Teorema de Pitágoras a um triângulo retângulo formado pelo ápice do triângulo, o ponto médio da base e o ponto médio do arco do círculo delimitado pelos extremos da base. Os dois lados desse triângulo retângulo são o comprimento ${\displaystyle \ell /m}$ da faixa cilíndrica e a sagitta do arco,^{[nota 3]} dando a fórmula^[16]$${\displaystyle h^{2}=\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+\left(r\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)\right)^{2}.}$$ Combinando a fórmula para a área de cada triângulo a partir de sua base e altura, e o número total ${\displaystyle 2mn}$ de triângulos, dá à lanterna de Schwarz uma área total de^[16]$${\displaystyle A(m,n)=2mn\left(r\sin {\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+r^{2}\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}.}$$

As lanternas de Schwarz, para grandes valores de ambos os parâmetros, convergem uniformemente para o cilindro que elas aproximam.^[21] No entanto, como há dois parâmetros livres, ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$, a área limite da lanterna de Schwarz, à medida que ambos ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ se tornam arbitrariamente grandes, pode ser avaliada em diferentes ordens, com resultados diferentes. Se ${\displaystyle m}$ é fixo enquanto ${\displaystyle n}$ cresce, e o limite resultante é então avaliado para escolhas arbitrariamente grandes de ${\displaystyle m}$, obtém-se^[16]$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }A(m,n)=2\pi r\ell ,}$$a área correta para o cilindro. Nesse caso, o limite interno já converge para o mesmo valor, e o limite externo é supérfluo. Geometricamente, substituir cada faixa cilíndrica por uma faixa de triângulos isósceles muito agudos aproxima com precisão sua área.^[16]

Por outro lado, inverter a ordem dos limites dá^[16]$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }A(m,n)=\infty .}$$Nesse caso, para uma escolha fixa de ${\displaystyle n}$, à medida que ${\displaystyle m}$ cresce e o comprimento ${\displaystyle \ell /m}$ de cada faixa cilíndrica se torna arbitrariamente pequeno, cada faixa correspondente de triângulos isósceles se torna quase planar. Cada triângulo se aproxima do triângulo formado por duas arestas consecutivas de um ${\displaystyle 2n}$-gono regular, e a área de toda a faixa de triângulos se aproxima de ${\displaystyle 2n}$ vezes a área de um desses triângulos planares, um número finito. No entanto, o número ${\displaystyle m}$ dessas faixas cresce arbitrariamente; como a área da lanterna cresce aproximadamente em proporção a ${\displaystyle m}$, ela também se torna arbitrariamente grande.^[16]

Também é possível fixar uma relação funcional entre ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ e examinar o limite à medida que ambos os parâmetros crescem simultaneamente, mantendo essa relação. Diferentes escolhas dessa relação podem levar a qualquer um dos dois comportamentos descritos acima, convergência para a área correta ou divergência para o infinito. Por exemplo, definir ${\displaystyle m=cn}$ (para uma constante arbitrária ${\displaystyle c}$) e tomar o limite para grandes ${\displaystyle n}$ leva à convergência para a área correta, enquanto definir ${\displaystyle m=cn^{3}}$ leva à divergência. Um terceiro tipo de comportamento limite é obtido ao definir ${\displaystyle m=cn^{2}}$. Para essa escolha,$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A(cn^{2},n)=2\pi r{\sqrt {\ell ^{2}+{\frac {r^{2}\pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.}$$Nesse caso, a área da lanterna de Schwarz, parametrizada dessa forma, converge, mas para um valor maior que a área do cilindro. Qualquer área maior desejada pode ser obtida fazendo uma escolha apropriada da constante ${\displaystyle c}$.^[16]

• Makarov, Boris; Podkorytov, Anatoly (2013). «Section 8.2.4» [Seção 8.2.4]. Real Analysis: Measures, Integrals and Applications [Análise Real: Medidas, Integrais e Aplicações]. [S.l.]: Springer. ISBN 978-1-4471-5121-0. doi:10.1007/978-1-4471-5122-7 
• Serret, Joseph Alfred (1868). Cours de calcul différentiel et intégral, Tome second: Calcul intégral [Curso de cálculo diferencial e integral, Volume II: Cálculo integral] (em francês). Paris: Gauthier-Villars 
• Schwarz, Hermann Amandus (1890). «Sur une définition erronée de l'aire d'une surface courbe» [Sobre uma definição errada da área de uma superfície curva]. Gesammelte Mathematische Abhandlungen von H. A. Schwarz [Coletânea de tratados matemáticos de H. A. Schwarz]. [S.l.]: Verlag von Julius Springer 
• Kennedy, Hubert C. «Peano: Life and works of Giuseppe Peano» [Peano: Vida e obras de Giuseppe Peano]. Studies in the History of Modern Science [Estudos sobre a história da ciência moderna]. 4. Dordrecht e Boston: D. Reidel Publishing Co. ISBN 90-277-1067-8. MR 0580947 
• Gandon, Sébastien; Perrin, Robert (2009). Studies in the History of Mathematics [Estudos na História da Matemática]. [S.l.]: Springer. ISBN 978-3-540-85965-9 
• Dubrovsky, Vladimir (1991). «In search of a definition of surface area» [Em busca de uma definição de área de superfície] (PDF). Quantum: The Magazine of Math and Science. 1 (4): 6–9