Integral de McShane

O matemático estadunidense Edward James McShane apresentou, em 1973,^[1][2] uma nova formulação da integral de Lebesgue, sem o recurso à Teoria da Medida. Neste âmbito, passava na altura, a ser uma alternativa ao curso de F. Riesz e B. Sz. Nagy (ver^[3] [Ch.II]). Com base na integral de Henstock-Kurzweil, também conhecida por integral de Riemann generalizada^[4][5][6], surgida uma década antes através dos trabalhos independentemente desenvolvidos pelo matemático inglês Ralph Henstock (1923-2007) e pelo matemático checo Jaroslav Kurzweil (1926-2022), McShane dá origem a uma integral, que haveria de ficar conhecida pelo seu nome. Usando as mesmas somas de Riemann tão bem conhecidas de muitos estudantes dos cursos de Ciências e Engenharia, tal integral não era, contudo, uma integral nova já que se formalizava equivalente à integral apresentada, no princípio do século XX, pelo francês Henri Lebesgue.

Tratando-se de uma integral baseada nas somas de Riemann, assenta ela obviamente em conceitos conhecidos como o de partição e ainda outros inerentes à integral de Henstock-Kurzweil. A nomenclatura relativa a estas noções variam bastante de autor para autor. Esta nossa exposição é nesse ponto sobretudo inspirada por definições semelhantes usadas, por exemplo, por Elon Lages de Lima^[7] e Djairo Guedes de Figueiredo^[8] no que respeita à integral de Riemann.

Dado um intervalo limitado e fechado, ${\displaystyle [a,b]}$, da reta real, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, por partição de ${\displaystyle [a,b]}$ entenderemos um qualquer conjunto ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\},}$ finito e ordenado ${\displaystyle (x_{0}<x_{1}<...<x_{n})}$ em que ${\displaystyle x_{0}=a}$ e ${\displaystyle x_{n}=b}$. Cada intervalo ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle (i=1,...,n)}$ é chamado de subintervalo determinado pela partição ${\displaystyle P.}$ O valor ${\displaystyle \left\vert P\right\vert =max\{x_{1}-x_{0},...,x_{n}-x_{n-1}\},}$ será dito diâmetro da partição ${\displaystyle P.}$ Por ${\displaystyle \wp [a,b])}$ designaremos o conjunto de todas as partições do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$.

Relativamente a uma partição ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}}$, chamaremos pontilhado de ${\displaystyle [a,b]}$ admissível para ${\displaystyle P}$, a qualquer sequència finita de pontos daquele intervalo, ${\displaystyle T:t_{1},...,t_{n},}$ que tenha ${\displaystyle n}$ termos, ou seja, tantos quantos os subintervalos de ${\displaystyle [a,b]}$ determinados por ${\displaystyle P}$. Um dado pontilhado, ${\displaystyle T}$ de ${\displaystyle [a,b]}$, diz-se subordinado à partição ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}}$ de ${\displaystyle [a,b]}$, se e só se ${\displaystyle T}$ tiver um e um só elemento ${\displaystyle t_{i}}$ em cada um dos subintervalos ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle (i=1,...,n)}$ em que ${\displaystyle P}$ decompõe o intervalo ${\displaystyle [a,b]}$. Isto é, ${\textstyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}],\ i=1,...,n.}$

Notemos que a sequência ${\displaystyle T:t_{1},...,t_{n},}$ pode admitir termos repetidos, e que o número ${\displaystyle n}$, indicado, tem em conta essa repetição. Observe- se que no caso de ${\displaystyle T}$ ser um pontilhado subordinado à partição ${\displaystyle P,}$ então o número de repetições não excede 2. Este mesmo número pode ser superior no caso de não haver subordinação.

Com uma partição ${\displaystyle P}$ e um pontilhado ${\displaystyle T}$ que lhe seja admissível, podemos formar o conjunto

${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)=\{(t_{1},[x_{0},x_{1}]),...,(t_{n},[x_{n-1},x_{n}])\}=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}}$,

a que chamaremos partição pontilhada associada ao par ${\textstyle (T,P)}$.

Todos estes conceitos provêm, como se sabe, da integral de Riemann. Os que se seguem têm origem na formulação da integral de Henstock-Kurzweil.

Iremos considerar partições pontilhadas de dois tipos. Umas em que o pontilhado ${\displaystyle T}$ está subordinado à partição ${\displaystyle P}$, as quais chamaremos de partição de pontilhado subordinado, e aquelas em que, pelo contrário, ${\displaystyle T}$ não está subordinada a ${\displaystyle P}$, a que daremos o nome de partição livremente pontilhada.

Dada uma função positiva ${\textstyle \delta :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$, uma partição pontilhada ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, associada ao par ${\textstyle (T,P)}$, é dita ${\displaystyle \delta }$-fina sempre que

${\textstyle [x_{i-1},x_{i}]\subset ]t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})[}$, para ${\textstyle i=1,...,n}$.

Nestas circunstâncias, a função ${\displaystyle \delta }$ toma o nome de calibre.

São válidas as seguintes relações com as amplitudes dos subintervalos determinados por uma partição pontilhada que seja ${\displaystyle \delta }$-fina.

${\displaystyle (i)}$ Se a partição pontilhada ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ for ${\displaystyle \delta }$-fina então existe um outro calibre ${\displaystyle \gamma (t)}$ tal que

${\displaystyle 0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})}$ para ${\textstyle i=1,...,n}$.

${\displaystyle (ii)}$ Dada uma partição de pontilhado subordinado, ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$,

se existir um calibre ${\displaystyle \gamma (t)}$ tal que ${\displaystyle 0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})}$ para ${\textstyle i=1,...,n}$, então ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ é ${\displaystyle \gamma }$-fina.

${\displaystyle (iii)}$ Se ${\textstyle \delta (t)}$ for um calibre limitado e ${\displaystyle \delta >0}$ for um número real tal que ${\displaystyle \delta (t)\leq \delta }$, qualquer que seja ${\textstyle t\in [a,b]}$, e ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ for uma partição pontilhada que seja ${\displaystyle \delta }$-fina, então tem-se necessariamente ${\displaystyle |P|<2\delta }$.

Na verdade, se ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ for ${\displaystyle \delta }$-fina, temos com ${\displaystyle \gamma (t)=2\delta (t)}$, para ${\textstyle i=1,...,n}$,

${\textstyle [x_{i-1},x_{i}]\subset ]t_{i}-\delta (t_{i}),t_{i}+\delta (t_{i})[=]t_{i}-\gamma (t_{i})/2,t_{i}+\gamma (t_{i})/2[}$,

o que implica ${\displaystyle 0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})}$, o que demonstra ${\displaystyle (i)}$.

Inversamente, para mostrarmos ${\displaystyle (ii)}$, seja ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ tal que ${\displaystyle 0<x_{i}-x_{i-1}<\gamma (t_{i})}$ para ${\textstyle i=1,...,n,}$ relativamente a um dado calibre ${\displaystyle \gamma (t)}$. Então se ${\textstyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}],\ i=1,...,n,}$ ou seja, se o pontilhado ${\displaystyle T}$ for subordinado a ${\displaystyle P}$, temos necessariamente ${\textstyle [x_{i-1},x_{i}]\subset ]t_{i}-\gamma (t_{i}),t_{i}+\gamma (t_{i})[}$, para ${\textstyle i=1,...,n}$, ou seja, ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ é ${\displaystyle \gamma }$-fina.

A asserção ${\displaystyle (iii)}$ é uma consequência imediata da demonstração de ${\displaystyle (i)}$.

Uma função ${\textstyle \delta (t)}$ tal que , ${\textstyle \delta (t)=\delta >0}$ para cada ${\textstyle t\in [a,b]}$, isto é que seja constante e positiva no intervalo ${\textstyle [a,b]}$, constitui um calibre. Dizer que uma partição pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, é ${\displaystyle \delta }$-fina implica que ${\displaystyle |P|<2\delta }$ independentemente do pontilhado ${\displaystyle T}$ admissível para a partição ${\displaystyle P}$. Reciprocamente, se ${\displaystyle |P|<\delta }$ então qualquer partição de pontilhado subordinado, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, é ${\displaystyle \delta }$-fina.

Permanece a questão de saber se qualquer calibre, ${\displaystyle \delta }$, admite uma partição pontilhada que seja ${\displaystyle \delta }$-fina. A questão é inteiramente esclarecida pelo seguinte teorema, conhecido na literatura como lema de Cousin por ser devido, noutro contexto, ao matemático francês Pierre Cousin.

Para cada função ${\displaystyle \delta :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$, existe uma partição de ${\displaystyle [a,b]}$, de pontilhado subordinado, que é ${\displaystyle \delta }$-fina.

A demonstração desta proposição resulta da seguinte observação. Se com ${\displaystyle c\in ]a,b[}$, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{a},P_{a})}$ e ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{b},P_{b})}$ forem duas partições, de pontilhado subordinado, ${\displaystyle \delta }$-finas dos intervalos ${\displaystyle [a,c]}$ e ${\displaystyle [c,b]}$, respetivamente, então por junção das duas partições construímos uma partição de pontilhado subordinado de ${\displaystyle [a,b]}$, igualmente ${\displaystyle \delta }$-fina.

Assim, procedamos por contradição, supondo que não existe nenhuma partição, de pontilhado subordinado de ${\displaystyle [a,b]}$, que seja ${\displaystyle \delta }$-fina. Então para qualquer ${\displaystyle c\in ]a,b[}$, pelo menos um dos intervalos, ${\displaystyle [a,c]}$ ou ${\displaystyle [c,b]}$, também não admite nenhuma partição de pontilhado subordinado igualmente ${\displaystyle \delta }$-fina. Escolhendo ${\textstyle c=(a+b)/2}$, o ponto médio do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$, designemos tal subintervalo de ${\displaystyle [a,b]}$, por ${\displaystyle I_{1}=[a_{1},b_{1}]}$, cuja amplitude é igual a ${\displaystyle (b-a)/2}$. Aplicando a ${\displaystyle I_{1}}$ o mesmo argumento, construímos analogamente um subintervalo de ${\displaystyle I_{1}}$, ${\displaystyle I_{2}=[a_{2},b_{2}]}$, de amplitude ${\displaystyle (b-a)/4}$, o qual também não admite nenhuma partição, de pontilhado subordinado, que seja ${\displaystyle \delta }$-fina. Por este processo constituímos uma sucessão descendente de intervalos fechados,

${\displaystyle [a,b]\supset I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{k}\supset ...,}$

em que ${\displaystyle I_{k}=[a_{k},b_{k}]}$ é um intervalo de amplitude ${\displaystyle (b-a)/2^{k}}$ que não admite nenhuma partição, de pontilhado subordinado, que seja ${\displaystyle \delta }$-fina. Nestas condições é possível afirmar que ${\textstyle I=\bigcap _{k\geq 1}I_{k}}$ é um conjunto não vazio, limitado e fechado (ver^[7] [Teorema 12, p.145]) e além disso, singular já que ${\displaystyle (b-a)/2^{k}\rightarrow 0}$, quando ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. Isto é, ${\displaystyle I=\{z\}}$, com ${\displaystyle z\in I_{k}}$, qualquer que seja ${\displaystyle k}$.

Mas dado que ${\displaystyle \delta (z)>0}$, existe ${\displaystyle k}$ tal que ${\displaystyle (b-a)/2^{k}<\delta (z)}$, Como tal, ${\displaystyle \{(\{z\},I_{k})\}}$ constitui uma partição, de pontilhado subordinado, ${\displaystyle \delta }$-fina do intervalo ${\displaystyle I_{k}}$, o que é contraditório.

Dada uma função ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$, relativamente a uma qualquer partição pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, consideremos a respetiva soma de Riemann

${\displaystyle \sigma ({\dot {P}}(T,P),f)=f(t_{1})(x_{1}-x_{0})+...+f(t_{n})(x_{n}-x_{n-1})}$${\textstyle =\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$,

onde ${\displaystyle T=\{t_{1},...,t_{n}\}}$ e ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},...,x_{n}\}}$.

Estas somas de Riemann intervêm na integral de Riemann e na integral de Henstock-Kurzweil sob a condição adicional de que o pontilhado ${\displaystyle T}$ seja subordinado à partição ${\displaystyle P}$. Para formularmos a integral de McShane essa condicionante não é tida em conta. Quer dizer, o pontilhado ${\displaystyle T}$ é livre entre todos os pontilhados admissíveis para a partição ${\displaystyle P}$.

Nestas condições, diremos que ${\displaystyle f}$ é integrável à McShane se existir um valor real ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ tal que:

• ${\displaystyle (M)}$ Para qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe um calibre ${\displaystyle \delta (t)}$ tal que qualquer que seja a partição livremente pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, que seja ${\displaystyle \delta }$-fina se tem ${\displaystyle |\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {M|<\epsilon }}}$.

A fim de relacionarmos este integral com o de Riemann e o de Riemann generalizado, recordemos que ${\displaystyle f}$ é integrável à Riemann sempre que existir um valor real ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ tal que:

• ${\displaystyle (R)}$ Para qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe um valor ${\displaystyle \delta >0}$ (ou se quisermos, um calibre constante ${\displaystyle \delta (t)=\delta /2}$) tal que qualquer que seja a partição de pontilhado subordinado, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, tal que ${\displaystyle |P|<\delta }$ (respetivamente que seja ${\displaystyle \delta }$-fina) se tem ${\displaystyle |\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {I|<\epsilon }}}$.

Mais geralmente para a integral de Henstock-Kurzweil a respetiva definição consiste na existência de um valor real ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, de modo que

• ${\displaystyle (HK)}$ Para qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe um calibre, ${\displaystyle \delta (t)}$, tal que qualquer que seja a partição de pontilhado subordinado, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, que seja ${\displaystyle \delta }$-fina se tem ${\displaystyle |\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {H|<\epsilon }}}$.

São óbvias as relações entre estes tipos de integrabilidade que indicamos no seguinte teorema.

Seja ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$. Então são válidas as seguintes implicações:

• ${\displaystyle f}$ é integrável à Riemann ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle f}$ é integrável segundo Henstock-Kurweil;
• ${\displaystyle f}$ é integrável à McShane ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle f}$ é integrável segundo Henstock-Kurzweil.

Em qualquer dos casos as integrais correspondentes coincidem.

É fácil de demonstrar, em qualquer dos integrais acima apresentados, a unicidade do valor do integral.

Para o caso do integral de McShane suponhamos que existem dois valores, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}}$, para os quais é verificada a condição ${\displaystyle (M)}$.

Tome-se ${\displaystyle \varepsilon =|{\mathcal {M}}_{1}-{\mathcal {M}}_{2}|/2}$ e calibres ${\displaystyle \delta _{1}(t)}$ e ${\displaystyle \delta _{2}(t)}$ tais que:

• ${\displaystyle |\sigma ({\dot {P}}(T_{1},P_{1}),f)-{\mathcal {M_{1}|<\epsilon }}}$, para qualquer partição livremente pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{1},P_{1})}$, ${\displaystyle \delta _{1}}$-fina,

e

• ${\displaystyle |\sigma ({\dot {P}}(T_{2},P_{2}),f)-{\mathcal {M_{2}|<\epsilon }}}$, qualquer que seja a partição livremente pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T_{2},P_{2})}$, ${\displaystyle \delta _{2}}$-fina.

Seja ${\displaystyle \delta (x)=min\{\delta _{1}(x),\delta _{2}(x)\}}$ e usemos o Teorema 2 para obtermos uma partição pontilhada, ${\textstyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$, que seja ${\displaystyle \delta }$-fina.

Então, como ser ${\displaystyle \delta }$-fina implica ser ${\displaystyle \delta _{1}}$-fina e ${\displaystyle \delta _{2}}$-fina, obtemos

${\displaystyle |{\mathcal {M}}_{1}-{\mathcal {M}}_{2}|\leqslant |\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {M_{1}|}}}$${\displaystyle +|\sigma ({\dot {P}}(T,P),f)-{\mathcal {M}}_{2}|<2\varepsilon =|{\mathcal {M}}_{1}-{\mathcal {M}}_{2}|}$,

o que é contraditório.

Para os integrais de Riemann e de Henstock-Kurzweil a mesma demonstração pode ser seguida passo a passo.

Com ${\displaystyle a<b}$, seja ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$ e ${\displaystyle f(x)=1}$ se ${\displaystyle x\in ]a,b[.}$ Como se sabe, esta função é integrável à Riemann e o valor do sua integral é ${\displaystyle b-a.}$ Mostremos que a função também é integrável à McShane, assumindo a integral respetiva, o mesmo valor.

Então dado ${\displaystyle \varepsilon >0}$ seja ${\displaystyle \delta (t)>0}$ o calibre dado por ${\displaystyle \delta (a)=\delta (b)=\varepsilon /4}$ e ${\displaystyle \delta (t)=b-a}$ se ${\displaystyle t\in ]a,b[.}$

Considerando uma partição pontilhada ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}}$ podemos decompo-la nas sequências:

${\displaystyle (a,[x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}])}$, para ${\displaystyle j=1,...,\lambda }$,

${\displaystyle (b,[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$, onde ${\displaystyle k=1,...,\mu }$, e

${\displaystyle (t_{i_{r}},[x_{i_{r}-1},x_{i_{r}}])}$, com ${\displaystyle r=1,...,\nu }$, em que ${\displaystyle t_{i_{r}}\in ]a,b[}$ ${\displaystyle (\lambda +\mu +\nu =n).}$

Deste modo, ${\displaystyle \sigma ({\dot {\mathcal {P}}}(T,P),f)=\textstyle \sum _{r=1}^{\nu }\displaystyle (x_{i_{r}}-x_{i_{r}-1})}$ e por conseguinte,

${\displaystyle |\sigma ({\dot {\mathcal {P}}}(T,P),f)-(b-a)|=\textstyle \sum _{j=1}^{\lambda }\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})+\textstyle \sum _{k=1}^{\mu }\displaystyle (x_{i_{k}}-x_{i_{k}-1}).}$

Assim, se ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)}$ for ${\displaystyle \delta }$-fina temos

${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset [a-\delta (a),a+\delta (a)]}$, para ${\displaystyle j=1,...,\lambda }$, e

${\displaystyle [x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}]\subset [b-\delta (b),b+\delta (b)]}$, com ${\displaystyle k=1,...,\mu }$.

Atendendo a que estes intervalos não intersetam o seu interior, sendo no máximo justapostos, obtemos

${\displaystyle |\sigma ({\dot {\mathcal {P}}}(T,P),f)-(b-a)|<2\delta (a)+2\delta (b)={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

Logo ${\displaystyle f}$ é integrável à McShane e o valor do seu integral é ${\displaystyle b-a.}$

O exemplo seguinte mostra que existe uma distinção entre a integral de Riemann e a integral de McShane.

Seja ${\displaystyle d:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ a conhecida função de Dirichlet dada por

${\displaystyle d(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x{\text{ é racional,}}\\0,&{\text{se }}x{\text{ é irracional,}}\end{cases}}}$

que sabemos não ser integrável à Riemann. Mas mostremos tratar-se de uma função integrável no sentido de McShane.

Para isso comecemos por considerar o conjunto numerável, ${\displaystyle \{r_{1},r_{2},...,r_{n},...\}}$, dos números racionais do intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ e para ${\displaystyle \varepsilon >0}$, qualquer, constituamos o calibre

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\varepsilon 2^{-n-1},&{\text{se }}x=r_{n}{\text{ e }}n=1,2,...,\\1,&{\text{se }}x{\text{ é irracional.}}\end{cases}}}$

Seja ${\displaystyle {\dot {\mathcal {P}}}(T,P)=\{(t_{i},[x_{i-1},x_{i}]):i=1,...,n\}}$ uma partição livremente pontilhada ${\displaystyle \delta }$-fina tendo como soma de Riemann ${\displaystyle \sigma ({\dot {P}}(T,P),f)=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})}$.

Tendo em conta que ${\displaystyle f(t_{i})=0}$ sempre que ${\displaystyle t_{i}}$ é irracional, eliminemos da sequência de pares que constituem a partição pontilhada, os pares ${\displaystyle (t_{i},[x_{i-1},x_{i}])}$ em que ${\displaystyle t_{i}}$ é irracional. O que resta são subsequências do tipo ${\displaystyle (r_{k},[x_{i_{1}-1},x_{i_{1}}]),...,(r_{k},[x_{i_{k}-1},x_{i_{k}}])}$ em que cada intervalo ${\displaystyle [x_{i_{j}-1},x_{i_{j}}]\subset ]r_{k}-\delta (r_{k}),r_{k}+\delta (r_{k})[}$, ${\displaystyle j=1,...,k.}$ Atendendo a que os diversos subintervalos determinados pela partição são justapostos, cada uma destas subsequências dá origem na soma de Riemann a subsomas do tipo

${\textstyle \textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle f(r_{k})(x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\displaystyle (x_{i_{j}}-x_{i_{j}-1})<2\delta (r_{k})={\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$.

Logo ${\textstyle 0\leq \sigma ({\dot {P}}(T,P),f)<\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varepsilon /2^{n}=\varepsilon }$, o que prova que a função de Dirichlet é integrável à McShane sendo o valor da integral respetiva igual a zero.

Qualquer dos três integrais acima definidos verifica as propriedades elementares relativas a funções reais definidas num intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ que a seguir enumeramos, onde por ${\textstyle \int _{a}^{b}f}$ designamos indistintamente o valor de cada um desses integrais

1. Se ${\displaystyle f}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ então ${\displaystyle f}$ é integrável em cada subintervalo de ${\displaystyle [a,b]}$.
2. Se ${\displaystyle f}$ é integrável em ${\displaystyle [a,c]}$ e ${\displaystyle [c,b]}$ então ${\displaystyle f}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\textstyle \int _{a}^{c}f+\int _{c}^{b}f=\int _{a}^{b}f}$.
3. Se ${\displaystyle f}$ é contínua em ${\displaystyle [a,b]}$ então ${\displaystyle f}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$.
4. Se ${\displaystyle f}$ é monótona em ${\displaystyle [a,b]}$ então ${\displaystyle f}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$.
5. Seja ${\displaystyle \phi :[a,b]\rightarrow [\alpha ,\beta ]}$ uma função diferenciável e estritamente monótona. Então ${\displaystyle f:[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {R} }$ é integrável em ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ se e só se ${\textstyle (f\circ \phi )|\phi '|}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$, caso em que ${\textstyle \int _{a}^{b}(f\circ \phi )|\phi '|=\int _{\alpha }^{\beta }f}$.
6. Se ${\displaystyle f}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ então ${\displaystyle kf}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\textstyle \int _{a}^{b}kf=k\int _{a}^{b}f}$, para cada ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$.
7. Sejam ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ funções integráveis em ${\displaystyle [a,b]}$. Então:

• ${\displaystyle f+g}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\textstyle \int _{a}^{b}(f+g)=\int _{a}^{b}f+\int _{a}^{b}g}$

• ${\displaystyle f\leq g}$ em ${\displaystyle \left[a,b\right]}$${\textstyle \Rightarrow \int _{a}^{b}f\leq \int _{a}^{b}g}$.

No que respeita aos integrais de Henstock-Kurzweil e de McShane as demonstrações destas propriedades são idênticas excetuando ligeiras variações inerentes às diferenças de definição (ver, por exemplo, Washek Pfefer^[9] [Sec. 6.1]). Olhando também o que acima foi referido, se atentarmos na demonstração da unicidade da integral de McShane, ela pode repetir-se verbatim para concluir a unicidade da integral de Henstock-Kurzweil.

Observamos assim inicialmente um certo paralelismo entre estes dois integrais. Porém, surge uma impercetível rutura entre eles quando se analisam outras propriedades, como as que respeitam a integrabilidade absoluta e a integrabilidade das derivadas de funções integráveis.

A este respeito são válidos os seguintes teoremas (ver^[9] [Prop.2.2.3 e Th. 6.1.2]).

Se ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ integrável em ${\displaystyle [a,b]}$, segundo McShane, então também ${\displaystyle |f|}$ é integrável à McShane em ${\displaystyle [a,b]}$ e ${\textstyle |\int _{a}^{b}f|\leq \int _{a}^{b}|f|}$.

Se ${\textstyle F:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ é diferenciável em ${\displaystyle [a,b]}$, então ${\textstyle F'}$ é integrável em ${\displaystyle [a,b]}$ segundo Henstock-Kurzweil e${\textstyle \int _{a}^{b}F'=F(b)-F(a)}$.

Com o objetivo de ilustrar estes teoremas analisemos o seguinte exemplo.

Consideremos a seguinte função:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\cos(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0.\end{cases}}}$

Trata-se de uma função obviamente diferenciável se ${\displaystyle x\neq 0}$, igualmente diferenciável em ${\displaystyle x=0}$, já que ${\textstyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {F(x)}{x}}\right)=\lim _{x\to 0}\left(x\cos {\frac {\pi }{x^{2}}}\right)=0}$.

Além disso,

${\textstyle F'(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2})+{\frac {2\pi }{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0.\end{cases}}}$

Como a função

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}2x\cos(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0,\end{cases}}}$

é contínua e, pelo Teorema 5, a função ${\displaystyle F'(x)}$ é, por exemplo, em ${\displaystyle [0,1],}$ integrável segundo Henstock-Kurzweil, então, pelas propriedades 6 e 7, o mesmo sucede à função

${\textstyle g_{0}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}\sin(\pi /x^{2}),&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0.\end{cases}}}$

Ora a função

${\textstyle g(x)=|g_{0}(x)|={\begin{cases}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|,&{\text{se }}x\neq 0,\\0,&{\text{se }}x=0,\end{cases}}}$

não é integrável em ${\displaystyle [0,1]}$ para nenhuma das integrais mencionadas. Na verdade, se o fosse, designando qualquer dessas integrais por ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx}$ teríamos necessariamente ${\textstyle \int _{0}^{1}g(x)dx\geq \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx,}$para qualquer ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$. Procedendo à mudança de variável ${\textstyle x=1/{\sqrt {t}}}$, obtemos de acordo com a propriedade 5:

${\displaystyle \int _{1/{\sqrt {n}}}^{1}{\frac {1}{x}}|\sin(\pi /x^{2})|dx={\frac {1}{2}}\int _{1}^{n}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}\int _{k-1}^{k}{\frac {1}{t}}|\sin(\pi t)|dt\geq }$

${\displaystyle \geq {\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}\int _{k-1}^{k}|\sin(\pi t)|dt={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k}}}$.

Atendendo a que ${\displaystyle n\in {\mathbb {N} }}$ é arbitrário e ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=2}^{N}{\frac {1}{k}}=+\infty }$, chegamos a uma contradição.

Das situações descritas neste exemplo, podemos então tirar as seguintes consequências:

I) O Teorema 4 não é válido para o integral segundo Henstock-Kurzweil, já que ${\displaystyle g_{0}}$ é integrável à Henstock-Kurzweil e ${\displaystyle g}$ não é.

II) O Teorema 5 não é válido para o integral de McShane. Se o fosse então ${\displaystyle F'}$ seria integrável à McShane, o mesmo sucedendo a ${\displaystyle g_{0}}$, e pelo Teorema 4 também a ${\displaystyle g}$, obtendo-se assim um absurdo.

III) ${\displaystyle F'}$ pode figurar assim como exemplo de uma função integrável segundo Henstock-Kurzweil que não é integrável à McShane. Isto é, tendo em conta o Teorema 3, a classe das funções integráveis à McShane é mais restrita que a das integráveis segundo Henstock-Kurzweil.

O resultado mais importante e talvez o mais surpreendente da integral de McShane é o que descrevemos no teorema seguinte.

Seja ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$. Então

${\displaystyle f}$ é integrável à McShane ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle f}$ é integrável à Lebesgue.

As integrais correspondentes coincidem.

A demonstração deste teorema não é imediata. Antes obriga a que se estabeleçam previamente vários resultados para a integral de McShane em relação com resultados já conhecidos da integral de Lebesgue. Neste sentido, chamamos a atenção do leitor para Washek Pfeffer^[9] [Ch. 4] e também para os trabalhos de Robert McLeod^[4] [Ch. 8], Russel Gordon^[10] [Ch. 10] e Douglas Kurtz e Charles Swartz^[11].

Constitui-se com ele uma espécie de unificação da teoria da integração em torno das somas de Riemann que praticamente lhe deram origem.