Homotetia

Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo.^[1] Na homotetia as proporções são preservadas.

Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:

${\displaystyle {\overrightarrow {OP'}}=k\cdot {\overrightarrow {OP}}}$

O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição).

Uma homotetia preserva:

• os ângulos,
• as razões entre os segmentos de reta e
• o paralelismo.

As seguintes propriedades são válidas em qualquer dimensão.

Uma homotetia possui as seguintes propriedades:

• Uma reta é representada sobre uma reta paralela. Portanto, os ângulos permanecem inalterados.
• A proporção entre dois segmentos de reta é preservada.

Ambas as propriedades demonstram:

• Uma homotetia é uma semelhança .

Derivação das propriedades: Para facilitar os cálculos, assume-se que o centro ${\displaystyle S}$ é a origem: ${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$. Uma linha ${\displaystyle g}$ com representação paramétrica ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$ é mapeada no conjunto de pontos ${\displaystyle g'}$ pela equação ${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} }$, que é uma linha paralela a ${\displaystyle g}$ .

A distância entre dois pontos ${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$ é ${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$ e a distância entre as suas imagens é ${\displaystyle |k\mathbf {p} -k\mathbf {q} |=|k||\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$. Portanto, a razão (quociente) entre dois segmentos de reta permanece inalterada.

Em caso de ${\displaystyle S\neq O}$, o cálculo é análogo, mas um pouco mais extenso.

Consequências: um triângulo é projetado sobre um triângulo semelhante. A imagem homotética de um círculo é outro círculo. A imagem de uma elipse é outra elipse semelhante, ou seja, a razão entre os dois eixos permanece inalterada.

Para uma homotetia com centro ${\displaystyle S}$, dada a imagem ${\displaystyle Q_{1}}$ de um ponto ${\displaystyle P_{1}}$ (ver diagrama), então a imagem ${\displaystyle Q_{2}}$ de um segundo ponto ${\displaystyle P_{2}}$, que não esteja na linha ${\displaystyle {\overline {SP_{1}}}}$ pode ser construída graficamente usando o teorema da interseção: ${\displaystyle Q_{2}}$ é o ponto comum das linhas ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ e ${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$. A imagem de um ponto colinear com ${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$ pode ser determinado usando ${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$.

Antes da popularização dos computadores, o redimensionamento de desenhos era feito utilizando pantógrafos, uma ferramenta semelhante a um compasso.

Fundamentos de construção e geometria:

1. Usando 4 hastes, monte um paralelogramo móvel com vértices ${\displaystyle P_{0},Q_{0},H,P}$ de modo que as duas hastes que se cruzam em ${\displaystyle Q_{0}}$ sejam prolongadas na outra extremidade, como mostrado no diagrama. Escolha a proporção. ${\displaystyle k}$ .
2. Nas hastes alongadas, marque os dois pontos ${\displaystyle S,Q}$ de modo que ${\displaystyle |SQ_{0}|=k|SP_{0}|}$ e ${\displaystyle |QQ_{0}|=k|HQ_{0}|}$. Isso ocorre se ${\displaystyle |SQ_{0}|={\tfrac {k}{k-1}}|P_{0}Q_{0}|.}$ (Em vez de ${\displaystyle k}$ a localização do centro ${\displaystyle S}$ pode ser prescrito. Nesse caso, a proporção é ${\displaystyle k=|SQ_{0}|/|SP_{0}|}$)
3. Fixe as hastes móveis rotativas à volta do ponto ${\displaystyle S}$.
4. Variar a localização do ponto ${\displaystyle P}$ e marque em cada ponto de tempo ${\displaystyle Q}$ .

Como ${\displaystyle {\frac {|SQ_{0}|}{|SP_{0}|}}={\frac {|Q_{0}Q|}{|PP_{0}|}}}$ (ver diagrama) do teorema da interseção, obtém-se que os pontos ${\displaystyle S,P,Q}$ são colineares e a equação ${\displaystyle |SQ|=k|SP|}$ é sustentada. Demonstra-se assim que o mapeamento ${\displaystyle P\to Q}$ é uma homotetia com centro ${\displaystyle S}$ e proporção ${\displaystyle k}$ .

• A composição de duas homotetias com o mesmo centro ${\displaystyle S}$ é novamente uma homotetia com centro ${\displaystyle S}$. As homotetias com centro ${\displaystyle S}$ formar um grupo.
• A composição de duas homotetias com centros diferentes ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ e suas proporções ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ é:

• em caso de ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$ uma homotetia com seu centro na linha ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$ e proporção ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$,
• em caso de ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$ uma translação com direção ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ Especialmente se ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$ (reflexões pontuais).

Derivação:

Para a composição ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$ das duas homotetias ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ com centros ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ com

${\displaystyle \sigma _{1}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),}$

${\displaystyle \sigma _{2}:\mathbf {x} \to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\ }$

obtém-se, por cálculo, a imagem do ponto ${\displaystyle X:\mathbf {x} }$ :

${\displaystyle (\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \ =(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} }$.

Portanto, a composição é

• em caso de ${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$, uma translação em direção ${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$ por vetor ${\displaystyle \ (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$.
• em caso de ${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$, o ponto ${\displaystyle S_{3}}$

${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$

é um ponto fixo (não é movido) e a composição

${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})\quad }$.

é uma homotetia com centro ${\displaystyle S_{3}}$ e proporção ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$. ${\displaystyle S_{3}}$ fica sobre a linha ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$.

• A composição de uma homotetia e uma translação é também uma homotetia.

A composição da homotetia

${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,\;}$ e a translação

${\displaystyle \tau :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} }$ is

${\displaystyle \tau \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$

${\displaystyle =\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}})\right)}$

que é uma homotetia com centro ${\displaystyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$ e proporção ${\displaystyle k}$ .

A homotetia ${\displaystyle \sigma :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )}$ com centro ${\displaystyle S=(u,v)}$ pode ser escrita como a composição de uma homotetia com centro ${\displaystyle O}$ e a seguinte translação:

${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} +(1-k)\mathbf {s} }$.

Por isso, ${\displaystyle \sigma }$ pode ser representada em coordenadas homogéneas pela matriz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}k&0&(1-k)u\\0&k&(1-k)v\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

Uma transformação linear de homotetia pura também é conforme porque é composta de translação e escala uniforme.

• Transformação geométrica
• Lista de construções do desenho geométrico

Referências