Fração unitária

Uma fração unitária é uma fração positiva com um como o numerador, tal que ${\displaystyle 1/n}$ seja o inverso multiplicativo do denominador da fração, que deve ser um número natural positivo. Como por exemplo, ${\displaystyle 1/1}$, ${\displaystyle 1/2}$, ${\displaystyle 1/3}$, ${\displaystyle 1/4}$, ${\displaystyle 1/5}$, etc. Quando um objeto é divido em partes iguais, cada parte é uma fração unitária do todo.

Todo número racional pode ser representado como a soma de frações unitárias. Esse tipo de fração também aparece em diversas somas finitas e infinitas e, comumente, é utilizado para familiar estudantes no estudo da matemática com as frações. Além disso, possui diversas aplicações na teoria das probabilidades, combinatória e no estudo do comportamento de frequência do espectro do átomo de hidrogênio.

As frações unitárias são os números racionais que podem ser escritos na forma $${\displaystyle {\frac {1}{n}},}$$, tal que ${\displaystyle n}$ seja um número natural positivo qualquer. A fração, assim, é o inverso multiplicativo deste ${\displaystyle n}$. Quando algo é dividido em ${\displaystyle n}$ partes iguais, cada parte é ${\displaystyle 1/n}$ do todo.^[1]

Multiplicar duas frações unitárias quaisquer resulta em uma outra fração unitária.^[2]$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$$ Contudo, adicionar, subtrair^[3] ou dividir duas frações unitárias pode não gerar uma fração unitária.$${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$$A última equação demonstra que toda fração pode ser representada e expressada como o quociente entre duas frações unitárias.^[4]

Na aritmética modular, qualquer fração unitária pode ser convertida em um número inteiro equivalente ao utilizar o algoritmo de Euclides estendido.^[5][6]

Diversas construções na matemática envolvem a combinação de múltiplas frações unitárias, usualmente através da soma delas.

Qualquer número positivo racional pode ser escrito como diversas somas de frações unitárias distintas. Por exemplo: ${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}}$.

Essas somas são chamadas de frações egípcias, uma vez que as civilizações do Antigo Egito as utilizavam como notação de uma forma mais geral para os números racionais. Ainda há interesse em analisar os métodos utilizados pelos egípcios para escolher entre as possíveis representações para um número e, com elas, realizar cálculos mais complexos.^[7] As frações egípcias também são de interesse na teoria dos números moderna. O problema Erdős–Graham^[8] e a conjectura Erdős–Straus^[9] tratam da soma de frações unitárias. Além disso, o número harmônico é definido a partir dessas somas finitas.^[10]

Diversas séries infinitas apresentam termos que são frações unitárias.

• A série harmónica é a soma de todas frações unitárias. A soma diverge, e sua soma parcial ${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...+{\frac {1}{n}}}$ se aproxima do logaritmo natural de ${\displaystyle n}$ mais a constante de Euler-Mascheroni.^[11] Intercalando a soma com a subtração, obtém-se a série harmônica alternada, que resulta no logaritmo natural de 2:^[12]$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$$
• A fórmula de Leibniz para π é:^[13] $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$
• O problema de Basileia trata da soma dos quadrados das frações unitárias: ^[14]$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$
• De forma similar, a constante de Apéry é o número irracional que é a soma dos cubos das frações unitárias.^[15]
• A série geométrica binária é^[16]$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.}$$

Na educação matemática, as frações unitárias são, muitas vezes, introduzidas antes que outros tipos de frações, uma vez que são mais fáceis de explicar visualmente às crianças que as frações unitárias são partes iguais de um todo.^[17][18] Uma prática comum do uso dessas frações é para dividir comida de forma equivalente para um certo número de pessoas. Esse exemplo serve como introdução ao estudo da repartição equivalente e da divisão justa.^[19][20]

Na distribuição uniforme e discreta, todas as probabilidades são frações unitárias equivalentes.^[21]

Probabilidades não iguais relacionadas com as frações unitárias são visíveis na Lei de Zipf. Ela, pela observação de diversos fenômenos envolvendo a seleção de itens em uma forma ordenada, apresenta que a possibilidade do ${\displaystyle n}$-ésimo item seja selecionado é proporcional à fração unitária ${\displaystyle 1/n}$.^[22]

No estudo da otimização combinatória, o problema do empacotamento em contentores envolve a sequência de itens com proporções fracionais, que devem ser colocados em contentores cuja capacidade é um. Isto é, o comprimento total dos itens colocados em cada contentor deve ser um.^[23][24]

O nível de energia que fótons podem ser absorvidos ou emitidos por um átomo de hidrogênio, de acordo com a fórmula de Rydberg, é proporcional à diferença das duas frações unitárias. Uma explicação para tal fenômeno é feita a partir da análise do modelo de Bohr, no qual os níveis de energias dos orbitais atômicos em um átomo de hidrogênio são inversamente proporcionais ao quadrado das frações unitárias, e a energia de um fótão é quantizado como a diferença entre dois níveis.^[25]

Arthur Eddington argumenta que a constante de estrutura fina era uma fração unitária. Inicialmente, acreditava que a constante era de 1/136 e mais tarde passou para 1/137. Essa alegação provou ser falsa, pois estima-se que a constante de estrutura fina seja de 1/137.036.^[26]

Referências