Fórmula de Taylor

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor ou Série de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f infinitamente derivável num intervalo contendo um ponto ${\displaystyle x_{0}}$, temos:

• ${\displaystyle T(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}}{2}}+{\frac {f'''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{3}}{6}}+...}$
• ${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {f^{(n)}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{n}}{n!}}{\Biggr )}}$^[1]

Assim, pode-se ganhar precisão até quanto se queira. Para ${\displaystyle n=1}$, por exemplo:

• ${\displaystyle T_{1}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}$

Esta é uma função que descreve a equação de uma reta (devido ao expoente ${\displaystyle 1}$ relativo à variável ${\displaystyle x}$). Esta reta possuí o coeficiente angular ${\displaystyle f'(x_{0})}$, logo, o gráfico de ${\displaystyle T}$ é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$. É importante ressaltar que este conceito está diretamente ligado à ideia de diferencial.

Encontrar ${\displaystyle \ln 1,0031}$

• ${\displaystyle f(x)=\ln x}$ (função envolvida no problema)
• ${\displaystyle x_{0}=1}$ (ponto próximo onde conheço o valor da função)

${\displaystyle T(1,0031)=\ln 1+1/1\cdot 0,0031=0,0031=>\ln 1,0031\approx 0,0031}$

Ao fazer a aproximação de f no ponto x por T₁ no ponto x comete-se um erro:

• ${\displaystyle E(x)=f(x)-T_{1}(x)}$
• ${\displaystyle E(x)=f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})}$
• ${\displaystyle E(x)/(x-x_{0})=(f(x)-f(x_{0}))/(x-x_{0})-f'(x_{0})}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}E(x)/(x-x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}((f(x)-f(x_{0}))/(x-x_{0})-f'(x_{0}))}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}E(x)/(x-x_{0})=f'(x_{0})-f'(x_{0})}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}E(x)/(x-x_{0})=0}$

A última expressão significa que o erro cometido tende a zero mais rápido que a diferença ${\displaystyle (x-x_{0})}$.

A função T que foi examinada é um polinômio de 1ºgrau que é denominado o Polinômio de Taylor, de ordem ${\displaystyle 1}$, de ${\displaystyle f}$ em volta de ${\displaystyle x0}$ e é escrito como:

• ${\displaystyle P_{1}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$

Referências

• Teorema de Taylor
• Série de Taylor
• Brook Taylor
• polinômio de taylor