Fórmula da redução de LSZ

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Em teoria quântica de campos, a fórmula da redução de LSZ é um método para calcular elementos da matriz-S (as amplitudes de espalhamento) das funções de correlação ordenadas no tempo de uma teoria quântica de campos. É um passo da sequência que começa na lagrangeana de alguma teoria quântica de campos, e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Seu nome é uma homenagem a três físicos alemães, Harry Lehmann, Kurt Symanzik e Wolfhart Zimmermann.^[1][2][3]

Embora a fórmula da redução de LSZ não sirva para partículas compostas, partículas sem massa, e sólitons topológicos, ela pode ser generalizada para cobrir partículas compostas, pelo uso de campos compostos que frequentemente são não-locais. Além disso, o método (ou suas variantes) tornou-se igualmente frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em física estatística eles podem ser usados para obter uma formulação particularmente geral do teorema da flutuação-dissipação.

Elementos da matriz S são pontos de transições entre estados Antecessor e Posterior. Um estado Antecessor ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {Antecessor} \rangle }$ descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento no passado, antes de interagir, se movendo livremente com momento definido ${\displaystyle \{p\}}$, e, convencionalmente, um estado Posterior ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {Posterior} \rangle }$ descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento posterior, depois de interação, se movendo livremente com momento definido ${\displaystyle \{p\}}$.^[1][2][3]

Os estados Antecessor e Posterior são estados numa Representação de Heisenberg , não devemos descrever as partículas em um determinado momento, mas sim um sistema de partículas em evolução, de modo que o elemento da matriz S descrevem :

${\displaystyle S_{fi}=\langle \{q\}\ \mathrm {Posterior} |\{p\}\ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

é a Amplitude de probabilidade a um ajuste no sistema de partículas que foram preparados com momento definido ${\displaystyle \{p\}}$ a interagir e ser medidos mais tarde, como um novo conjunto de partículas com momento ${\displaystyle \{p\}}$.

A maneira mais fácil de construir estados Antecessor e Posterior é buscar operadores de campo apropriados que forneçam os operadores de criação e aniquilação. Esses campos são chamados respectivamente de campo Antecessor e Posterior.

Apenas para fixar idéias, suponha que lidar com um campo de Klein-Gordon, que interage de alguma forma que não nos diz respeito:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$ podem conter uma auto interação ${\displaystyle g\varphi ^{3}}$ ou interação com outros campos, como uma interação Yukawa ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$. Deste Lagrange, usando equações de Euler-Lagrange, a equação do movimento segue:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

Onde, se ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$ não contém acoplamentos derivados:

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Podemos esperar que o campo Antecessor, se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como ${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$, fazendo a suposição de que na interação posterior descrito pelo atual ${\displaystyle j_{0}}$ é seja desprezível, como partículas estão longe uma da outra. Esta hipótese é chamada de hipótese adiabático. No entanto auto interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, faz resulte na diferença entre a massa de Lagrange ${\displaystyle m_{0}}$ e a massa física ${\displaystyle m}$ do bóson ${\displaystyle \varphi }$. Este fato deve ser levado em consideração por reescrever a equação de movimento da seguinte forma:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Esta equação pode ser resolvida utilizando formalmente a função retardada de Green's para o operador Klein-Gordon ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

o que nos permite dividir a interação do comportamento assintótico. A solução é:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

O fator ${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$ é um fator normalizado que virá mais tarde à mão, o campo ${\displaystyle \varphi _{Posterior}}$ é uma solução da equação homogénea associada com a equação do movimento:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)=0,}$

e, portanto, é um campo livre que descreve uma onda imperturbável de entrada, enquanto que o último termo da solução dá a perturbação da onda devido à interação.

O campo ${\displaystyle \varphi _{Antecessor}}$ é de fato o campo Antecessor que buscamos, como ele descrevemos o comportamento assintótico do campo, interagindo como ${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$, embora esta declaração se resumirá mais precisa depois. É um campo escalar livre para ondas planas expandirem-se:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

onde:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

A função inversa para os coeficientes em termos de campo podem ser facilmente obtidas e apresentadas de forma formal:

${\displaystyle a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)}$

Onde:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial }}_{0}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

Os coeficientes de Fourier satisfazem a álgebra dos operadores de criação e aniquilação:

${\displaystyle [a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

e podem ser usados para construir o estado Antecessor de maneira usual:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {Antecessor} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

A relação entre o campo interagindo e o campo Antecessor não é muito simples de usar, e na presença anterior da função Green's nos deixa descrever algo como:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)\qquad \mathrm {como} \quad x^{0}\to -\infty }$

implicitamente a suposição se faz de que todas as interações tornam-se insignificantes quando as partículas estão longe uma da outra. No entanto, o atual ${\displaystyle j(x)}$ contém também interações auto como aquelas que produzem o deslocamento de massa de ${\displaystyle m_{0}}$ a ${\displaystyle m}$. Essas interações não desaparecem como as partículas se afastam, muito cuidado, deve-se estabelecer relações assintóticas entre o campo e interação do campo Antecessor.

A prescrição correta, desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizados ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ e ${\displaystyle |\beta \rangle }$, e uma solução normalizada ${\displaystyle f(x)}$ da equação de Klein–Gordon ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$. Com estas peças é possível afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)|\beta \rangle }$

O segundo elemento é de facto independente do tempo que pode ser mostrado pela derivação e lembrando-se que tanto ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {Antecessor} }}$ e ${\displaystyle f}$ satisfazem a equação de Klein–Gordon.

Com as mudanças apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um campo Posterior que constrói um estado Posterior. Em particular, a definição do campo Posterior é:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

onde ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)}$ é a função avançada de Green do operador de Klein-Gordon. A relação assintótica fraca entre campo Posterior e interação do campo é:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)|\beta \rangle }$

As relações assintóticas são tudo que necessitamos para obter a Fórmula da redução de LSZ. Por conveniência futura com o inicio com os elementos da matriz:^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ p\ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

que é ligeiramente mais geral do que um elemento da matriz S. de fato, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ é o valor esperado do produto ordenado-tempo de um número de campos ${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$ entre um estado Posterior e um estado Antecessor. O estado Posterior pode conter qualquer coisa a partir do vácuo para um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice ${\displaystyle \beta }$. O estado Antecessor contém pelo menos uma partícula de impulso ${\displaystyle p}$, e, possivelmente, muitos outros, cujos momentos são resumidos pelo índice ${\displaystyle \alpha }$. Se não existem campos no produto ordenado-tempo, então ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ é, obviamente, um elemento da matriz S. A partícula com impulso ${\displaystyle p}$ pode ser 'extraiu-se' a partir do estado Antecessor pelo utilização de um operador de criação:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {Posterior} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha \ \mathrm {Antecessor} \right\rangle }$

Com o pressuposto de que nenhuma partícula com momento ${\displaystyle p}$ está presente no estado Posterior, ou seja, estamos ignorando a frente espalhando, podemos escrever:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {Posterior} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {Posterior} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]{\bigg |}\alpha \ \mathrm {Antecessor} \right\rangle }$

por causa ${\displaystyle a_{\mathrm {Posterior} }^{\dagger }}$ agindo sobre a esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos dos campos Antecessor e Posterior, temos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {Posterior} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)-\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]{\bigg |}\alpha \ \mathrm {Antecessor} \right\rangle }$

Agora podemos usar a condição assintótica a escrever:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle \right\}}$

Então, notamos que o campo ${\displaystyle \varphi (x)}$ pode ser trazido para o produto solicitado em tempo, uma vez que aparece no lado direito quando ${\displaystyle x^{0}\to \infty }$ e sobre a esquerda quando ${\displaystyle x^{0}\to \infty }$:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

No seguinte, ${\displaystyle x}$ dependência no produto solicitado em tempo é o que importa, por isso, definir:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle =\eta (x)}$

É fácil mostrar, através da realização explicitamente a integração vez que:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

de modo que, por derivação de tempo explícito, temos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

Por sua definição, vemos que ${\displaystyle f_{p}(x)}$ é uma solução da equação de Klein-Gordon, o qual pode ser escrito como:

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Substituindo na expressão para ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ e integrando por partes, chegamos a:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

Isto é:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

A partir deste resultado, e seguindo o mesmo caminho a outra partícula extrair a partir do estado Antecessor, que conduz à inserção de um outro campo no produto ordenado-tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do estado Posterior, e os dois podem ser repetido para conseguir aspirar tanto a direita como a esquerda do produto ordenado do tempo, levando à fórmula geral:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {Posterior} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {Antecessor} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle 0|\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|0\rangle }$

Qual é a fórmula de redução LSZ de Klein-Gordon para escalares. Ele ganha um aspecto muito mais bonito se for escrito usando a transformada de Fourier para função de correlação:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle 0|\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|0\rangle }$

Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {Posterior} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {Antecessor} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Deixando de lado fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem da transformada de Fourier. É a fórmula de LSZ, onde ${\displaystyle Z\,\!}$ é a constante de renormalização do campo.

Referências

1. Marcelo Otávio Caminha Gomes, Teoria Quântica dos Campos Vol. 39 , EdUSP ISBN 8-531-40635-8
2. Barton, G. Introduction to Dispersion Techniques in Field Theory. New York, W.A. Benjamin, 1965. OCLC 870782 (em inglês)
3. Gasiorowicz, S. Elementary Particle Physics , New York : Wiley, 1967. OCLC 636225894 (em inglês)
4. Kulish, P.P. e Faddeev, L. D. Asymptotic Conditions and Infrared Divergences in Quantum Electrodynamics, Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers doi:10.1007/BF01066485 ISSN 0040-5779 Livro ISSN 1573-9333 e-Livro (em inglês)
5. Roman, P. Introduction to Quantum Field Theory, New York : J. Wiley, ©1969. OCLC 299573264 (em inglês)
6. Schweber, S.S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Evanston, Ill. : Row, Peterson, 1961. OCLC 1478153 (em inglês)