Exp(-1/x)

A função matemática definida por ${\displaystyle f(x)=e^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)}}$ diferentes de zero, é muito importante porque permite a construção de vários contraexemplos em análise matemática, pois esta é uma função suave.

Uma função analítica é infinitamente diferenciável. A função ${\displaystyle f(x)=e^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)}}$ permite construir uma função infinitamente diferenciável que não é analítica:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}f(x)=e^{\left(-{\frac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x>0,\\0&{\text{se }}x\leq 0,\end{cases}}}$