Escada de Penrose

A Escada de Penrose ou Degraus de Penrose, também apelidada de escadaria impossível, é um objeto impossível criado por Oscar Reutersvärd [en] em 1937^[1][2][3][4] e mais tarde descoberta e popularizada independentemente por Lionel Penrose e seu filho Roger Penrose.^[5] Uma variação do triângulo de Penrose, é uma representação bidimensional de uma escadaria na qual os degraus fazem quatro curvas de 90 graus enquanto sobem ou descem, mas formam um ciclo contínuo, de modo que uma pessoa poderia subi-los para sempre e nunca subir mais alto. Isso é geometricamente impossível na geometria euclidiana tridimensional, mas possível em algumas geometrias não euclidianas, como na geometria nil [en].^[6]

A "escadaria contínua" foi apresentada pela primeira vez em um artigo que os Penroses escreveram em 1959, baseado no chamado "triângulo de Penrose" publicado por Roger Penrose no British Journal of Psychology em 1958.^[5] M.C. Escher descobriu então a escada de Penrose no ano seguinte e fez sua agora famosa litografia Klimmen en dalen (Subindo e Descendo) em março de 1960. Penrose e Escher foram informados do trabalho um do outro naquele mesmo ano.^[7] Escher desenvolveu o tema ainda mais em sua gravura Waterval (Cachoeira [en]), que apareceu em 1961.

Em seu artigo original, os Penroses notaram que "cada parte da estrutura é aceitável como representando um lance de escadas, mas as conexões são tais que a imagem, como um todo, é inconsistente: os degraus descem continuamente no sentido horário."^[8]

As vistas parciais esquerda e direita das escadas de Penrose são individualmente percetíveis. Quando combinadas para formar as escadas de Penrose completas, emerge um objeto impossível.

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  Parte esquerda das escadas de Penrose
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  Escadas de Penrose
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  Parte direita das escadas de Penrose

Escher, na década de 1950, ainda não havia desenhado nenhuma escada impossível e não estava ciente de sua existência. Roger Penrose foi apresentado ao trabalho de Escher no Congresso Internacional de Matemáticos em Amsterdã em 1954. Ele ficou "absolutamente fascinado" pelo trabalho de Escher e, em sua viagem de volta à Inglaterra, decidiu produzir algo "impossível" por conta própria. Depois de experimentar vários designs de barras sobrepostas, ele finalmente chegou ao triângulo impossível. Roger mostrou seus desenhos ao pai, que imediatamente produziu várias variantes, incluindo o lance de escadas impossível. Eles queriam publicar suas descobertas, mas não sabiam a que campo o assunto pertencia. Como Lionel Penrose conhecia o editor do British Journal of Psychology [en] e o convenceu a publicar seu breve manuscrito, a descoberta foi finalmente apresentada como um tema psicológico. Após a publicação em 1958, os Penroses enviaram uma cópia do artigo a Escher como prova de sua estima.^[9]

Embora os Penroses tenham creditado Escher em seu artigo, Escher observou em uma carta ao seu filho em janeiro de 1960 que ele estava:

trabalhando no design de uma nova imagem, que apresentava um lance de escadas que apenas subia ou descia, dependendo de como você o via. [As escadas] formam uma construção circular e fechada, muito parecida com uma cobra mordendo a própria cauda. E, no entanto, podem ser desenhadas em perspetiva correta: cada degrau mais alto (ou mais baixo) do que o anterior. [...] Descobri o princípio em um artigo que me foi enviado e no qual eu mesmo era nomeado como o criador de vários "objetos impossíveis". Mas eu não estava familiarizado com os degraus contínuos dos quais o autor havia incluído um esboço claro, embora superficial, embora eu estivesse empregando alguns de seus outros exemplos.^[10]

Escher ficou cativado pelas escadas intermináveis e subsequentemente escreveu uma carta aos Penroses em abril de 1960:

Alguns meses atrás, um amigo meu enviou-me uma fotocópia do seu artigo... As suas figuras 3 e 4, o "lance contínuo de degraus", eram inteiramente novas para mim, e fiquei tão impressionado com a ideia que elas me inspiraram recentemente a produzir uma nova imagem, que eu gostaria de lhes enviar como prova da minha estima. Se publicaram outros artigos sobre objetos impossíveis ou tópicos relacionados, ou se souberem de tais artigos, ficaria muito grato se me pudessem enviar mais detalhes.^[10]

Em uma conferência em Roma em 1985, Roger Penrose disse que havia sido muito inspirado pelo trabalho de Escher quando ele e seu pai descobriram tanto a estrutura tribar de Penrose (ou seja, o triângulo de Penrose) quanto os degraus contínuos.

O design da escadaria já havia sido descoberto anteriormente pelo artista sueco Oscar Reutersvärd [en], mas nem Penrose nem Escher estavam cientes de seus designs.^[4] Inspirado por um programa de rádio sobre o método de composição de Mozart — descrito como "automatismo criativo"; ou seja, cada ideia criativa escrita inspirava uma nova ideia — Reutersvärd começou a desenhar uma série de objetos impossíveis em uma viagem de Estocolmo a Paris em 1950 da mesma forma "inconsciente, automática". Ele não percebeu que sua figura era um lance contínuo de escadas enquanto desenhava, mas o processo permitiu-lhe traçar seus designs cada vez mais complexos passo a passo. Quando Subindo e Descendo de M.C. Escher foi enviado a Reutersvärd em 1961, ele ficou impressionado, mas não gostou das irregularidades dos degraus (2 × 15 + 2 × 9). Ao longo da década de 1960, Reutersvärd enviou várias cartas a Escher para expressar sua admiração por seu trabalho, mas o artista holandês não respondeu.^[11] Roger Penrose só descobriu o trabalho de Reutersvärd em 1984.^[9]

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