Equação polinomial

Na matemática, uma equação polinomial é uma igualdade algébrica que envolve um polinômio igualado a zero. Exemplo geral:$${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$$Onde:

• ${\displaystyle P(x)}$ é o polinômio;
• ${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{0}}$ são os coeficientes;
• ${\displaystyle x}$ é a variável;
• ${\displaystyle n}$ é o grau do polinômio.

Grau do polinômio	Nome	Exemplo
1	Equação do 1º grau	${\displaystyle 2x-5=0}$
2	Equação do 2º grau	${\displaystyle x^{2}-4x+3=0}$
3	Equação do 3º grau	${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x+1=0}$
4 ou mais	Equação de grau ${\displaystyle n\geq 4}$	${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-x+6=0}$

"Resolver" uma equação polinomial significa calcular suas raízes, ou seja, encontrar quais são os valores de ${\displaystyle x}$ que tornam a equação verdadeira.^[1] Uma equação de grau ${\displaystyle n}$ possui sempre n raízes, sejam elas reais ou complexas.^[2] O conjunto com todas as raízes de uma equação polinomial é chamado conjunto solução dessa equação.^[3]

Todas as equações de 1° e 2° grau com coeficientes racionais podem ser resolvida por radicais, já equações de 3° e 4° grau podem ser resolvidas por radicais ou podem necessitar de cálculos trigonométricos. Equações de 5ª ordem ou superior não podem ser, em maioria, resolvidas por radicais, como afirma o teorema de Abel-Ruffini.^[4]

Toda equação polinomial pode ser fatorada em binômios de primeiro grau na forma ${\displaystyle P(x)=a_{n}(x-r_{1})\cdot (x-r_{2})...(x-r_{n}),}$ em que ${\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{n}}$são as raízes de P(x) (raízes da equação polinomial)^[3].

A ideia é reescrever o polinômio como um produto de fatores simples.^[5]

Exemplo:

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x+1=0}$

Agrupando:

${\displaystyle (x^{3}-x^{2})+(-x+1)=x^{2}(x-1)-1(x-1)=(x-1)\cdot \underbrace {(x^{2}-1)} _{\text{Quadrados}}}$

Fatorando mais ainda:

${\displaystyle (x-1)(x-1)(x+1)=\color {red}{(x-1)^{2}(x+1)=0}}$

As raizes são:

${\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=-1}$

• ${\displaystyle x+34=0}$ é de grau 1 e sua única solução real é dada por: ${\displaystyle x=-34}$, pois se no lugar de x usarmos o -34 tornaremos a igualdade verdadeira:$${\displaystyle -34+34=0}$$
• ${\displaystyle x^{2}-4=0}$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: ${\displaystyle x=\pm 2}$, pois se no lugar de x usarmos o 2 ou o -2 tornaremos a igualdade verdadeira:$${\displaystyle 2^{2}-4=4-4=0}$$${\displaystyle (-2)^{2}-4=4-4=0}$

• ${\displaystyle x^{2}-5x+4=0}$ é de grau 2 e possui 2 soluções reais: ${\displaystyle x=1}$ e ${\displaystyle x=4}$.
• ${\displaystyle x^{11}+x^{2}+x+7=0}$ é de grau 11 e sua única solução real é: ${\displaystyle x\approx -1.1971155422140012}$.

• Polinômio
• Regra dos sinais de Descartes
• Equação do segundo grau
• Equação do terceiro grau
• Equação do quarto grau

Referências

• Resolver Graficamente uma Equação Polinomial
• Resolver Graficamente uma Inequação Polinomial