Equação de Riccati

A equação de Riccati, cujo nome é uma homenagem ao Conde Jacopo Francesco Riccati, é uma equação diferencial ordinária não linear, de primeira ordem, da forma:

${\displaystyle {dy \over dx}=a(x)+b(x)y+c(x)y^{2}}$

onde ${\displaystyle a(x)}$, ${\displaystyle b(x)}$ e ${\displaystyle c(x)}$ são três funções que dependem de ${\displaystyle x}$.^[1]

Se conhecermos uma solução particular da equação, por exemplo ${\displaystyle y_{1}}$, a seguinte mudança de variável transformará a equação em equação linear

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{v}}\qquad \Longrightarrow \qquad {dy \over dx}={dy_{1} \over dx}-{\frac {1}{v^{2}}}{dv \over dx}}$

Encontre a solução geral da seguinte equação sabendo que ${\displaystyle y_{1}(x)}$ é solução particular

${\displaystyle y'=e^{x}y^{2}-y+e^{-x},\qquad y_{1}(x)=-e^{-x}\cot x}$

Trata-se de uma equação de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituição

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{v}}\qquad \Longrightarrow \qquad y'=y_{1}'-{\frac {v'}{v^{2}}}}$

É conveniente não substituir ${\displaystyle y_{1}}$ pela função dada, já que o fato desta ser solução da equação simplificará os resultados. Substituindo na equação de Riccati obtemos^[1]

${\displaystyle y_{1}'-{\frac {v'}{v^{2}}}=e^{x}\left(y_{1}^{2}+2{\frac {y_{1}}{v}}+{\frac {1}{v^{2}}}\right)-y_{1}-{\frac {1}{v}}+e^{-x}\qquad \Rightarrow \qquad v^{2}\left(y_{1}'-e^{x}y_{1}^{2}+y_{1}-e^{-x}\right)=v'+\left(2y_{1}e^{x}-1\right)v+e^{x}}$

Como ${\displaystyle y_{1}}$ é solução, o termo nos parênteses no lado esquerdo é zero e obtém-se a seguinte equação linear para ${\displaystyle v(x)}$

${\displaystyle v'-(2\cot x+1)v=-e^{x}}$

O fator integrante desta equação linear é

${\displaystyle \mu (x)=\exp \int (-1-2\cot x)dx=\exp \left[-x-2\ln(\sin x)\right]={\frac {e^{-x}}{\sin ^{2}x}}}$

Multiplicando os dois lados da equação linear por ${\displaystyle \mu }$ e seguindo os passos explicados na seção sobre equações lineares

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\mu v'-(2\cot x+1)\mu v=-\csc ^{2}x\\&&{d \over dx}(uv)=-\csc ^{2}x\\&&uv=\cot x+c\\&&v=e^{x}\sin ^{2}x(\cot x+c)=e^{x}\sin x(\cos x+c\sin x)\\&&y=y_{1}+{\frac {1}{v}}={\frac {e^{-x}}{\sin x}}\left(-\cos x{\frac {1}{\cos x+c\sin x}}\right)\\&&y=e^{-x}{\frac {\sin x-c\cos x}{\cos x+c\sin x}}\end{aligned}}}$

A solução geral está constituída por esta última família de funções, junto com a solução particular ${\displaystyle y_{1}}$

• Equação diferencial
• Equação diferencial linear
• Equação diferencial de Bernoulli

Referências