Duocilindro

O duocilindro, também chamado de cilindro duplo ou bidisco, é um objeto geométrico imerso no espaço euclidiano 4-dimensional, definido como o produto cartesiano de dois discos de raios respectivos r₁ e r₂:${\displaystyle D=\left\{(x,y,z,w)\,\left|\,x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\ z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}\right.\right\}}$

É semelhante a um cilindro no espaço 3D, que é o produto cartesiano de um disco por um segmento de reta. Mas, ao contrário do cilindro, ambas as hipersuperfícies (de um duocilindro regular) são congruentes.

Seu dual polar é um duofuso, construído como o fecho convexo de dois círculos, um no plano xy e o outro no plano zw.

O duocilindro é delimitado por duas 3-variedades mutuamente perpendiculares com superfícies semelhantes a um toro, descritas respectivamente pelas fórmulas:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}}$

e

${\displaystyle z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2}}$

O duocilindro recebe este nome porque estas duas 3-variedades limitantes podem ser pensadas como cilindros tridimensionais "dobrados" no espaço quadridimensional de tal forma que formam laços fechados nos planos xy e zw. O duocilindro possui simetria rotacional em ambos os planos e, como tal, pode ser usado para compreender rotações duplas [en] ao desenrolar a superfície do duocilindro em suas duas células cilíndricas – a rotação através de um dos planos de simetria translada um cilindro enquanto rotaciona o outro e, assim, numa rotação dupla, ambos os cilindros rotacionam e transladam.

Um duocilindro regular consiste em duas células congruentes, uma face de toro plano quadrada (a crista), zero arestas e zero vértices.

A crista do duocilindro é a 2-variedade que forma a fronteira entre as duas células toroidais limitantes (sólidas). Tem a forma de um Toro de Clifford [en], que é o produto cartesiano de dois círculos. Intuitivamente, pode ser construída da seguinte forma: Enrole um retângulo bidimensional num cilindro, de modo que as suas arestas superior e inferior se encontrem. Em seguida, enrole o cilindro no plano perpendicular ao hiperplano tridimensional em que o cilindro se encontra, de modo que as suas duas extremidades circulares se encontrem.

A forma resultante é topologicamente equivalente a um 2-toro euclidiano (uma forma de rosquinha). No entanto, ao contrário deste último, todas as partes da sua superfície são deformadas de forma idêntica. Na rosquinha (superfície 2D, imersa em 3D), a superfície à volta do "buraco da rosquinha" é deformada com curvatura negativa (como uma sela), enquanto a superfície exterior é deformada com curvatura positiva (como uma esfera).

A crista do duocilindro pode ser pensada como a forma global real das telas de jogos eletrônicos como Asteroids, onde sair da borda de um lado da tela leva ao outro lado. Ela não pode ser imersa sem distorção no espaço tridimensional, porque requer dois graus de liberdade ("direções") além da sua superfície bidimensional inerente para que ambos os pares de arestas sejam unidos.

O duocilindro pode ser construído a partir da 3-esfera "fatiando" o bojo da 3-esfera em qualquer lado da crista. A analogia disto na 2-esfera é desenhar círculos de latitude menor a ±45 graus e fatiar o bojo entre eles, deixando uma parede cilíndrica, e fatiar os topos, deixando topos planos. Esta operação é equivalente a remover vértices/pirâmides selecionados de polítopos, mas como a 3-esfera é suave/regular, é necessário generalizar a operação.

O ângulo diedro entre as duas hipersuperfícies tridimensionais em qualquer lado da crista é de 90 graus.

As projeções paralelas do duocilindro no espaço tridimensional e as suas seções transversais com o espaço tridimensional formam cilindros. As projeções em perspectiva do duocilindro formam formas semelhantes a toros com o "buraco da rosquinha" preenchido.

O duocilindro é a forma limite dos duoprismas [en] à medida que o número de lados nos prismas poligonais constituintes se aproxima do infinito. Os duoprismas servem, portanto, como boas aproximações politópicas do duocilindro.

No espaço 3D, um cilindro pode ser considerado intermediário entre um cubo e uma esfera. No espaço 4D, existem três produtos cartesianos que, no mesmo sentido, são intermediários entre o tesseracto (1-bola × 1-bola × 1-bola × 1-bola) e a hiperesfera (4-bola). São eles:

• o cubilindro (2-bola × 1-bola × 1-bola), cuja superfície consiste em quatro células cilíndricas e um toro quadrado.
• o esferilindro [en] (3-bola × 1-bola), cuja superfície consiste em três células — duas esferas e a região entre elas.
• o duocilindro (2-bola × 2-bola), cuja superfície consiste em duas células toroidais.

O duocilindro é o único dos três acima que é regular. Estas construções correspondem às cinco partições [en] de 4, o número de dimensões.

• Duoprisma [en]
• Fibração de Hopf
• Toro de Clifford [en]
• Toro plano [en]
• Variedade

• The Fourth Dimension Simply Explained, Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, New York. Disponível na biblioteca da Universidade da Virgínia. Também acessível online: The Fourth Dimension Simply Explained — contém uma descrição de duoprismas e duocilindros (cilindros duplos)
• The Visual Guide To Extra Dimensions: Visualizing The Fourth Dimension, Higher-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces, Chris McMullen, 2008, ISBN 978-1438298924