Densidade (topologia)

Em topologia um subconjunto de um espaço topológico é dito denso se para cada ponto ${\displaystyle x}$ desse espaço for possível encontrar um ponto ${\displaystyle d}$ do subconjunto denso tão próximo quanto se queira de ${\displaystyle x}$.

Seja ${\displaystyle X}$ um espaço topológico; dizemos que ${\displaystyle D\subseteq X}$ é denso no espaço ${\displaystyle X}$ se para cada aberto ${\displaystyle V\subseteq X}$ a intersecção ${\displaystyle V\cap D}$ for não-vazia. Verifica-se, facilmente, que as seguintes afirmações são equivalentes

1. ${\displaystyle D}$ é denso;
2. ${\displaystyle {\overline {D}}=X}$;
3. Para cada elemento ${\displaystyle U}$ de uma base ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ de ${\displaystyle X}$, se verifica ${\displaystyle U\cap D\neq \emptyset }$;
4. Para cada ${\displaystyle x\in X}$, cada base local ${\displaystyle {\mathcal {B}}(x)}$ e cada ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}(x)}$, se verifica ${\displaystyle U\cap D\neq \emptyset }$.

A cada espaço topológico ${\displaystyle X}$ pode ser associado um cardinal ${\displaystyle \operatorname {d} (X)}$, chamado de densidade do espaço ${\displaystyle X}$ dado por

${\displaystyle \operatorname {d} (X)=\min\{|D|:D{\text{ é denso em }}X\}}$.

Dizemos que um espaço ${\displaystyle X}$ é separável se possuir um denso enumerável, i.e. ${\displaystyle \operatorname {d} (X)\leq \omega }$.

O leitor é convidado a verificar que ${\displaystyle \operatorname {d} (X)\leq \operatorname {w} (X)}$, onde ${\displaystyle \operatorname {w} (X)}$ é o peso do espaço ${\displaystyle X}$ (i.e. a menor cardinalidade que uma base do espaço ${\displaystyle X}$ pode admitir).

• Sejam ${\displaystyle X,Y}$ espaços topológicos, sendo ${\displaystyle Y}$ Hausdorff. Quaisquer funções contínuas ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ que coincidem em um denso de ${\displaystyle X}$ são iguais;

• Imagens de denso por sobrejeções contínuas são conjuntos densos;

• O conjunto dos racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é denso em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ com a topologia usual; mais ainda, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é denso na reta de Sorgenfray. Isso faz com que ambos espaços sejam separáveis. É notável observar que, embora separável, a reta de Sorgenfray não é segundo-contável, testemunhando, portanto, que a desigualdade ${\displaystyle \operatorname {d} (X)\leq \operatorname {w} (X)}$ não pode ser reposta por uma igualdade.
• O espaço produto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ é separável.
• Para cada espaço de medida ${\displaystyle \langle X,{\mathcal {M}},\mu \rangle }$ e para cada ${\displaystyle p\in \omega }$, ${\displaystyle p\geq 1}$ o espaço ${\displaystyle L^{p}(X,{\mathcal {M}},\mu )}$ é separável. Em particular, os espaços ${\displaystyle l^{p}=L^{p}(\omega ,\wp (\omega ),|\cdot |)}$ é separável. Mas ${\displaystyle L^{\infty }(X,{\mathcal {M}},\mu )}$ não é separável.
• O espaço de Banach das funções de variação limitada não é separável.
• Separabilidade não é uma propriedade hereditária, i.e. subspaços de espaços separáveis em geral não são separáveis. De fato, topologizando ${\displaystyle \mathbb {R} }$ através do sistema de vizinhanças ${\displaystyle \langle {\mathcal {V}}_{x}\rangle _{x\in \mathbb {R} }}$, tal que ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}=\{A\subseteq \mathbb {R} :\exists \varepsilon >0(]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\cap \mathbb {Q} \subseteq A)\}}$, se ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{x}=\{A\subseteq \mathbb {R} :\exists \varepsilon >0((]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\cap \mathbb {Q} )\cup \{x\}\subseteq A)\}}$, se ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$. Nesta topologia, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é denso em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mas o conjunto dos irracionais não admite subconjunto denso enumerável.

Sejam ${\displaystyle \langle X_{s}\rangle _{s\in S}}$ uma família de espaços topológicos e ${\displaystyle \kappa \geq \omega }$ um cardinal tal que ${\displaystyle |S|\leq 2^{\kappa }}$. Se, para cada ${\displaystyle s\in S}$, ${\displaystyle \operatorname {d} (X)\leq \kappa }$ então ${\displaystyle \operatorname {d} \left(\prod _{s\in S}X_{s}\right)\leq \kappa }$.

Em particular, o teorema acima afirma que o produto de ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ espaços separáveis é um espaço separável.

Referências

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.