Controversia do cálculo

A controvérsia do cálculo entre Newton e Leibniz (em inglês: Leibniz–Newton calculus controversy; em alemão: Prioritätsstreit) foi uma disputa de prioridade sobre a descoberta do cálculo diferencial e integral entre Isaac Newton (1642–1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716). Newton criou a sua versão da teoria entre 1665 e 1666, contudo, não a publicou até 1704. Independentemente dele, Leibniz desenvolveu a sua própria variante do cálculo diferencial (a partir de 1675), embora o impulso inicial possa ter vindo de rumores sobre a existência de tal cálculo por parte de Newton, bem como de conversas científicas em Inglaterra e correspondência com Newton. Ao contrário deste, Leibniz publicou imediatamente a sua versão e, mais tarde, juntamente com Jakob Bernoulli e Johann Bernoulli, promoveu amplamente esta descoberta por toda a Europa. A maioria dos cientistas no continente não duvidava de que a análise tinha sido descoberta por Leibniz. Quando Newton decidiu publicar as suas obras sobre o tema, surgiu a questão da prioridade da descoberta. A disputa feroz não terminou com a morte de Leibniz e continuou através dos esforços dos apoiantes de ambos os lados, cessando apenas com a morte de Newton.

Pontos de vista polarizados sobre a prioridade de Newton ou de Leibniz foram expressos por historiadores da matemática até ao início do século XX. Desde meados do século passado, o número de fontes conhecidas aumentou substancialmente, e os investigadores modernos chegaram à conclusão de que Newton e Leibniz fizeram as suas descobertas de forma independente. Quanto à questão de qual contributo foi decisivo para o surgimento da análise matemática, os historiadores tendem a adotar uma visão de compromisso: ou consideram que tal resultou do trabalho de muitas gerações de matemáticos, ou reconhecem o papel decisivo do mentor de Newton, Isaac Barrow (1630–1677), cujas obras eram também conhecidas por Leibniz.

No século XVII, tal como na atualidade, a questão da prioridade científica era de grande importância para os académicos. No entanto, naquela época, as revistas científicas estavam apenas a surgir, e o mecanismo de fixação de prioridade através da publicação — que mais tarde se tornaria universal — ainda não se tinha consolidado. Entre os métodos utilizados pelos cientistas estavam os anagramas, envelopes selados depositados em locais seguros, correspondência com outros académicos ou comunicações privadas. Uma carta ao fundador da Academia de Ciências da França, Marin Mersenne, ou ao secretário da Royal Society de Londres, Henry Oldenburg, tinha praticamente o estatuto de um artigo publicado. O descobridor, além da fama, ficava isento da necessidade de provar que o seu resultado não fora obtido através de plágio. Além disso, a prioridade podia ter relevância prática se estivesse ligada à invenção de novos dispositivos técnicos. Uma estratégia comum de ataque à prioridade era declarar que a descoberta ou invenção não era uma grande conquista, mas apenas um melhoramento que utilizava técnicas conhecidas por todos e que, por isso, não exigia grande perícia do seu autor^[1].

Uma série de disputas sonoras sobre prioridade no século XVII — uma era que o historiador da ciência americano D. Meli chamou de "a idade de ouro das disputas de prioridade com lançamento de lama" (the golden age of the mud-slinging priority disputes) — está ligada ao nome de Leibniz. A primeira ocorreu no início de 1673, durante a sua primeira visita a Londres, quando, na presença do matemático John Pell, apresentou o seu método de aproximação de séries por diferenças. Perante a observação de Pell de que tal descoberta já tinha sido feita por François Regnaud e publicada em 1670 em Lyon por Gabriel Mouton, Leibniz respondeu no dia seguinte. Numa carta a Oldenburg, escreveu que, após consultar o livro de Mouton, reconhecia a razão de Pell, mas em sua defesa apresentava as suas notas de rascunho, que continham nuances não encontradas por Regnaud e Mouton. Assim, a honestidade de Leibniz foi provada, embora este incidente lhe tenha sido recordado mais tarde^[a]. Na mesma visita a Londres, Leibniz viu-se na posição oposta. A 1 de fevereiro de 1673, numa sessão da Royal Society, demonstrou a sua máquina de calcular. O curador de experiências da sociedade, Robert Hooke, examinou minuciosamente o aparelho e chegou a retirar a tampa traseira. Dias depois, na ausência de Leibniz, Hooke criticou a máquina do alemão, afirmando que poderia construir um modelo mais simples. Ao saber disto já em Paris, Leibniz escreveu a Oldenburg rejeitando categoricamente as pretensões de Hooke e formulando princípios de conduta científica correta: "Sabemos que as pessoas honradas e modestas preferem, quando idealizam algo comparável às descobertas feitas por outrem, atribuir os seus próprios melhoramentos e adições ao primeiro descobridor, para não levantar suspeitas de desonestidade intelectual". Como ilustração, Leibniz citou os exemplos de Nicolas-Claude Fabri de Peiresc e Pierre Gassendi, que realizaram observações astronómicas análogas às de Galileu Galilei e Johannes Hevelius, respetivamente. Ao saberem que não foram os primeiros, os cientistas franceses entregaram os seus dados aos descobridores originais^[3].

A abordagem de Newton ao problema da prioridade pode ser ilustrada pelo exemplo da descoberta da Lei do inverso do quadrado aplicada à dinâmica de corpos sob a ação da Gravidade. Com base na análise das Leis de Kepler e nos seus próprios cálculos, Robert Hooke sugeriu que o movimento nessas condições deveria ocorrer em órbitas semelhantes a elipses. Sem conseguir provar rigorosamente a sua afirmação, comunicou-a a Newton. Sem prosseguir a correspondência com Hooke, Newton resolveu o problema, bem como o inverso, provando que da elipticidade das órbitas decorre a lei do inverso do quadrado. A sua descoberta foi exposta na famosa obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica sem mencionar o nome de Hooke. Por insistência do astrónomo Edmond Halley, a quem o manuscrito foi entregue para edição e publicação, foi incluída uma frase referindo que a correspondência entre a primeira lei de Kepler e a lei do inverso do quadrado foi "afirmada independentemente por Wren, Hooke e Halley". Na correspondência com Halley, Newton formulou a sua visão da situação^[4]:

Os matemáticos, que tudo descobrem, tudo estabelecem e tudo provam, devem contentar-se com o papel de meros calculadores e operários. Outro, que nada consegue provar, mas apenas tudo pretende e tudo apanha em voo, leva toda a glória, tanto dos seus predecessores como dos seus sucessores... E eis que devo reconhecer agora que recebi tudo dele, e que eu próprio apenas calculei, provei e realizei todo o trabalho de animal de carga sobre as invenções deste grande homem.

Segundo a observação de V. I. Arnold, Newton, ao escolher entre não publicar as suas descobertas e a luta constante pela prioridade, acabou por escolher ambas^[5].

Ao tempo de Newton e Leibniz, os matemáticos europeus já tinham dado contributos significativos para a formação das ideias da Análise matemática. O desenvolvimento do antigo "Método da exaustão" para o cálculo de áreas e volumes foi trabalhado pelo holandês Simon Stevin (1548–1620), o italiano Luca Valerio (1553–1618) e o alemão Johannes Kepler (1571–1630). As ideias deste último influenciaram — diretamente ou através de Galileu Galilei — o "Método dos indivisíveis" desenvolvido por Bonaventura Cavalieri (1598–1647)^[6]. Galileu também trabalhou na questão dos conceitos de grandezas infinitamente grandes e infinitamente pequenas^[7]. Em 1639, Cavalieri obteve um resultado fundamental ao integrar uma função de potência. Entre 1636 e 1655, praticamente de forma independente, esta conquista foi repetida em França por Gilles de Roberval (1602–1675), Blaise Pascal (1623–1662), Pierre de Fermat (1601–1665) e, em Inglaterra, por John Wallis (1616–1703)^[8]. Em 1626, Grégoire de Saint-Vincent, desenvolvendo o "método da exaustão", chegou à ideia de representar uma curva como o limite de um polígono inscrito ou circunscrito; no entanto, como apresentou o seu feito como uma solução para a Quadratura do círculo, este foi ignorado pela maioria dos seus contemporâneos, sendo a sua reputação restaurada mais tarde por Newton e Leibniz^[9]. Na sua obra Traité des sinus du quart de cercle (1659), Pascal aproximou-se da estabelecer a ligação entre o problema da construção da tangente a uma curva e o cálculo da área sob a mesma. Nesta obra, apresenta-se a figura que viria a ser conhecida como "triângulo diferencial", ilustrando a passagem ao limite quando os incrementos do argumento e da função tendem para zero. Contudo, Pascal, tal como Willebrord Snell em 1624, não efetuou essa transição. Numa obra publicada em 1638, Pierre de Fermat propôs um método para determinar máximos e mínimos que se resume, na terminologia moderna, à determinação dos zeros da primeira derivada. Ao resolver o problema da procura do centro de gravidade de um segmento parabólico, Fermat concluiu pela relação entre os problemas da tangente e do cálculo de áreas^[10]. Apesar de Fermat aplicar os seus métodos apenas a funções racionais, foi quem mais se aproximou da invenção do cálculo — com a possível exceção de Isaac Barrow (1630–1677)^[11]. De grande importância foi a publicação, em 1668, do livro Logarithmotechnia de Nicholas Mercator (1620–1687), onde se apresentava a expansão em série de potências do Logaritmo natural ("Série de Mercator") e a sua aplicação ao cálculo da área sob a hipérbole^[12].

Barrow — mentor de NewtonPredefinição:Ref+ — tendia fortemente para a interpretação geométrica nas suas construções matemáticas. O seu método de cálculo de tangentes baseava-se nos resultados de matemáticos continentais e dos britânicos James Gregory (1638–1675) e John Wallis. É provável que também conhecesse os trabalhos de Fermat sobre análise, editados postumamente em 1679^[13]. A obra principal de Barrow no campo da análise, Lectiones Geometricae, foi publicada em 1670. Em 1673, Leibniz adquiriu-a, mas, segundo a sua própria afirmação, não a leu^[14].

Os historiadores da matemática avaliam de forma distinta o papel de Newton e Leibniz no contexto das conquistas dos seus antecessores. Segundo Edmund Hoppe (1928), podem-se distinguir duas linhas independentes na história do cálculo: a cinemática, que leva a Newton através de Platão, Arquimedes, Galileu, Cavalieri e Barrow; e a atomística, que leva a Leibniz através de Demócrito, Kepler, Fermat, Pascal e Christiaan Huygens (1629–1695). A perspetiva de Carl Boyer (1949) é a de que estas ideias estavam "no ar" em meados do século XVII, aguardando que alguém as sistematizasse e generalizasse^[15]. Segundo Margaret E. Baron (1969), o descobridor original deveria ser Barrow, tendo Newton e Leibniz apenas conferido às suas ideias uma forma algébrica^[16].

Existe uma quantidade considerável de documentos relativos à história da descoberta do cálculo por Newton, por ele designado como "Método das fluxões" (Method of Fluxions) — o que viria a ser a base da moderna análise matemática^[b]. No caderno de Newton de 1699, ele escreve que, ao analisar as suas antigas notas de despesas, recordou-se de que, pouco antes do Natal de 1664, adquiriu obras matemáticas importantes da época: Miscellanies de Frans van Schooten e a Geometria de Descartes. No inverno de 1664/5, estudou estes livros. Nesse período, nas obras de Wallis, Newton descobriu o método das séries infinitas. No verão, refugiando-se da Grande Peste de Londres na sua propriedade natal de Woolsthorpe Manor, calculou com elas a área da hipérbole. Alguns meses depois, Newton conseguia calcular derivadas e, no verão de 1665, descobriu que a integração é a operação inversa da Diferenciação; por esta altura, Newton introduz o conceito de fluxão, que representa a taxa de variação de uma função. Notas autobiográficas sobre este assunto foram expostas em correspondência com o refugiado huguenote em Londres, Pierre des Maizeaux, que em 1718 iniciou o trabalho numa coleção de cartas de cientistas. Muitos outros documentos confirmam esta cronologia^[18].

No final de outubro, Newton iniciou e concluiu em poucas semanas um pequeno ensaio, How to draw tangents to mechanical lines, no qual desenvolveu a ideia da representação de funções em Coordenadas cartesianas. Pouco depois, num documento datado de 13 de novembro de 1665, formulou a regra para o cálculo da derivada de uma função de várias variáveis — uma conquista repetida por Leibniz 19 anos mais tarde. O manuscrito seguinte conhecido sobre esta problemática data de maio de 1666; nele, Newton associa o conceito de fluxão à velocidade do movimento. Em outubro do mesmo ano, todos os trabalhos anteriores foram reunidos num único tratado^[19]. Newton preferiu não publicar o artigo De analysi per aequationes numero terminorum infinitas ("Sobre a análise por equações de termos infinitos"), escrito em 1669 e divulgado apenas em 1711^[20]. Ele enviou este artigo ao seu mentor Isaac Barrow, que o mostrou em julho de 1669 ao matemático John Collins, que atuava como um "empresário matemático", mantendo a comunidade científica de Inglaterra e da Europa unida^[21]. Collins tirou uma cópia e devolveu o original a Newton. Esta abordagem correspondia aos costumes da época — os cientistas, por várias razões, não tinham pressa em divulgar as suas obras. Nesses casos, os trabalhos eram comunicados apenas a amigos próximos ou confiados a sociedades científicas; por vezes, a essência do trabalho, como a fórmula principal, era ocultada sob a forma de um Anagrama^[22]. No entanto, este artigo, embora importante para o desenvolvimento dos métodos de diferenciação, não continha indicações sobre o método das fluxões e foi tecnicamente inútil na polémica posterior sobre a prioridade^[23]. O tratado especificamente dedicado a este método, Treatise on the Methods of Series and Fluxions (1671), só foi publicado após a morte de Newton, em 1736. Não foi concluído, mas a sua existência está registada na correspondência de Newton^[20]. A 10 de dezembro de 1672, Newton escreveu a Collins uma carta que complementava a sua obra De analysi, na qual reconhecia que as fórmulas que deduzira eram análogas às obtidas anteriormente por René-François de Sluse (1622–1685) e Johannes Hudde (1628–1704), e que no desenvolvimento do seu método seguira as indicações de Fermat, Gregory e Barrow^[24][25][26].

• Арнольд, В. И. (1989). Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук - Первые шаги математического анализа и теории катастроф. М.: Наука. 98 páginas. ISBN 5-02-013935-1 
• Arnold, Vladimir (1990). Huygens and Barrow, Newton and Hooke: Pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals. Traduzido por Primrose, Eric J.F. [S.l.]: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2383-3 
• W. W. Rouse Ball (1908) A Short Account of the History of Mathematics], 4th ed.
• Bardi, Jason Socrates (2006). The Calculus Wars: Newton, Leibniz, and the Greatest Mathematical Clash of All Time. New York: Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-992-3 
• Boyer, C. B. (1949). The History of the Calculus and its conceptual development. [S.l.]: Dover Publications, inc 
• Richard C. Brown (2012) Tangled origins of the Leibnitzian Calculus: A case study of mathematical revolution, World Scientific ISBN 9789814390804
• Ivor Grattan-Guinness (1997) The Norton History of the Mathematical Sciences. W W Norton.
• Hall, A. R. (1980). Philosophers at War: The Quarrel between Newton and Leibniz. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22732-1 
• Stephen Hawking (1988) A Brief History of Time From the Big Bang to Black Holes. Bantam Books.
• Kandaswamy, Anand. The Newton/Leibniz Conflict in Context.
• Meli, D. B. (1993). Equivalence and Priority: Newton versus Leibniz: Including Leibniz's Unpublished Manuscripts on the Principia. [S.l.]: Clarendon Press. 318 páginas. ISBN 0-19-850143-9 

Referências

Notas