Conjunto ômega-limite

Na teoria dos sistemas dinâmicos, fixado um sistema dinâmico sobre um espaço ${\displaystyle X}$, associa-se a cada ponto ${\displaystyle p\in X}$ um conjunto denominado conjunto ômega-limite de ${\displaystyle p}$.

Sejam ${\displaystyle X}$ um espaço topológico e ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ um homeomorfismo. Se ${\displaystyle p\in X}$, definimos o conjunto ômega-limite de ${\displaystyle p}$, denotado por ${\displaystyle \omega (p)}$, como sendo o conjunto ${\displaystyle \{x\in X\mid \exists \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle n_{k}\rightarrow \infty }$ e ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }f^{n_{k}}(p)=x\}}$.

Para fluxos, temos a seguinte definição:

Sejam ${\displaystyle M}$ uma variedade suave e ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \times M\rightarrow M}$ um fluxo contínuo definido sobre ${\displaystyle M}$. Se ${\displaystyle p\in M}$, definimos o conjunto ômega-limite de ${\displaystyle p}$, denotado por ${\displaystyle \omega (p)}$, como sendo o conjunto ${\displaystyle \{x\in X\mid \exists \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} }$ tal que ${\displaystyle t_{k}\rightarrow \infty }$ e ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\phi (t_{k},p)=x\}}$.