Concoide de Nicomedes

Três casos da concóide de Nicomedes segundo o valor da distância $k$ que é adicionada a cada raio vetor (o ponto vermelho é o polo, e a reta base — a preto — dista do polo $d=1$ ):
[a] $k=2$ (azul); [b] $k=1$ (verde); [c] $k=1/2$ (vermelho).

A concóide de Nicomedes é uma curva plana concebida pelo matemático grego Nicomedes, que viveu aproximadamente na mesma época que Arquimedes, no século II a.C. O nome “concóide”, proveniente da palavra grega antiga “κογχοειδής”, refere-se ao facto de a forma da curva lembrar o perfil de uma concha.^[1] É um tipo de concóide cujos raios vetores, traçados a partir de um ponto fixo, intercetam uma reta (denominada “base”) a uma distância constante.^[2]

Dada uma reta base paralela ao eixo polar, situada a uma distância $d$ da origem, e uma distância fixa $k$ que se situa sobre cada raio vetor a partir do ponto onde este cruza a reta base (tanto para trás como para a frente), a equação em coordenadas polares da concóide de Nicomedes é:

\rho ={\frac {d}{cos\ \omega }}+k

que, em coordenadas cartesianas, assume a forma:

(x-d)^{2}(x^{2}+y^{2})=k^{2}x^{2}\,

A relação entre os parâmetros $d$ e $k$ determina o aspeto dos dois ramos da curva.^[3]

Construção

Polo (origem $O$ ), eixo polar (vermelho), reta base $m$ e distância fixa $k$ $(AP=AP')$

Fixa-se um ponto $O$ (chamado polo) e uma linha reta $m$ distante $d$ de $O$ . Considera-se agora uma segunda reta genérica que passa por $O$ e que interceta a reta $m$ em $A$ . Nesta reta, de ambos os lados em relação a $A$ , marcam-se dois segmentos $AP=AP'$ , cada um com comprimento $k$ . O lugar geométrico dos pontos $P$ e $P'$ , obtidos ao rodar a reta que passa por $O$ , denomina-se concóide de Nicomedes. A parte da curva mais afastada de $O$ (ou seja, $P$ ) denomina-se ramo externo; e a outra parte recebe o nome de ramo interno.

É imediato verificar que, para um sistema de coordenadas polares, a equação da concóide assume a forma:

\rho ={\frac {d}{\cos \theta }}+k.

Fazendo coincidir o ponto $O$ com a origem de um sistema de eixos cartesianos $xOy$ , tomando uma reta base paralela ao eixo $y$ a uma distância $d$ da origem, e uma distância $k$ a aplicar sobre os raios vetores, a equação cartesiana da curva é:

(x^{2}+y^{2})(x-d)^{2}=k^{2}x^{2}.

Por outro lado, as equações paramétricas assumem a forma:^[4]

{\begin{cases}x=d+k\cos \theta \\y=d\tan \theta +k\sin \theta .\end{cases}}

Construção de tangentes e normais

René Descartes, na sua obra “La Géométrie” (A Geometria)^[5], explica um método que permite desenhar a normal e, consequentemente, a tangente da concóide de Nicomedes.

Expõe-se aqui brevemente o método:

Pretende-se traçar a normal de uma concóide de Nicomedes com polo $A$ e módulo $b$ num ponto $C$ .
A reta diretriz desta concóide chamar-se-á $(BH)$ , onde $B$ é tal que $(AB)$ e $(CH)$ são perpendiculares a $(BH)$ .
Desenhar o segmento $[CE]$ de modo que $E$ seja a interseção entre as retas $(BH)$ e $(CA)$ .
Marcar o ponto $F$ de maneira a que $F$ pertença a $[CE]$ e $CF=CH$ .
Marcar o ponto $G$ na reta perpendicular a $(BH)$ que passa por $F$ , de modo que $FG=EA$ .
A reta $(CG)$ é, então, a normal à curva em $C$ .

Trissecção de um ângulo

A curva pode ser utilizada para resolver o problema da trissecção do ângulo. Seja $A{\widehat {O}}B$ um ângulo arbitrário. A partir de um ponto qualquer $L$ do lado $OB$ , traça-se a perpendicular $LD$ ao lado $OA$ , e considera-se a concóide construída sobre a reta $LD$ em relação ao polo $O$ com constante $k=2OL$ .

A reta paralela a $OA$ traçada a partir de $L$ encontra o ramo externo da concóide em $C$ . Unindo $C$ a $O$ , tem-se então que:

A{\widehat {O}}C={\frac {1}{3}}A{\widehat {O}}B

O inconveniente deste procedimento é que obrigaria a traçar uma concóide à medida para cada ângulo que se deseja trissectar, embora baste utilizar o método neusis para ajustar uma régua com duas marcas (situadas ao dobro da distância $OL$ ) entre as retas $m$ e $l$ , a qual deve também passar pela origem. Isto não acontece com outras trissectrizes (como, por exemplo, a trissectriz de Maclaurin), que permitem trissectar qualquer ângulo com a mesma curva.

Demonstração

Sejam $N$ o ponto de interseção de $OC$ com $LD$ , e $M$ o ponto médio de $CN$ . Pela definição de concóide , tem-se que:

CN=k=2OL

e, portanto:

CM=MN=OL={k \over 2}.

Por outro lado, $NLC$ é um ângulo reto; logo $LM$ , sendo a mediana relativa à hipotenusa $CN$ do triângulo retângulo $CLN$ , mede metade da própria hipotenusa, ou seja:

LM=NM=OL

Daqui deduz-se que os triângulos $LOM$ , $LMC$ e $LMN$ são isósceles e, portanto:

L{\widehat {O}}M=N{\widehat {M}}L=2L{\widehat {C}}M

Mas $L{\widehat {C}}M=C{\widehat {O}}A$ porque são ângulos alternos internos e, portanto, $L{\widehat {O}}M=2C{\widehat {O}}A$ , ou ainda:

B{\widehat {O}}A=L{\widehat {O}}A=3C{\widehat {O}}A

como fica demonstrado.

Duplicação do cubo

A construção gráfica que permite determinar o valor de $a{\sqrt[{3}]{2}}$ , necessário para resolver o problema da duplicação do cubo, pode ser gerada através do seguinte procedimento:^[6]

Parte-se da medida dada da aresta do cubo a duplicar, denominada $a$ .
Constrói-se o retângulo $OABC$ , cuja base $OA$ mede $a$ e cuja altura $AB$ mede $b=2a$ .
Determina-se $E$ , o ponto médio de $OA$ , pelo qual se traça uma reta vertical.
Traça-se a circunferência $(V)$ com centro em $O$ e raio $a$ , que interseta $OA$ no ponto $H$ e corta a reta vertical que passa por $E$ , abaixo de $OA$ , no ponto $G$ .
Traça-se a reta $(L)$ , paralela a $GH$ e que passa por $A$ .
Agora, constrói-se o ramo externo de uma concóide de Nicomedes com o ponto $G$ como polo, a reta $(L)$ como reta base e a distância $a$ .
Determina-se o ponto $P$ como a interseção da concóide com a reta $OA$ . A reta $PB$ corta a reta $OC$ no ponto $M$ .

Finalmente, verifica-se que a distância $CM$ é $a{\sqrt[{3}]{2}}$ .

Comprovação

De acordo com a imagem à direita, seja $AD>AB$ e, para simplificar, suponha-se que $AB=2a$ e $AD=2b$ .

Construir o retângulo $ABCD$ segundo os dados fornecidos (para a duplicação do cubo, $b=2a$ ); dividindo $AD$ ao meio, obtém-se o ponto médio $E$ , que se une a $C$ ; em seguida, prolonga-se $CE$ até encontrar o prolongamento de $AB$ em $F$ .

A partir de $G$ , ponto médio de $AB$ , traçar a perpendicular a $AB$ e, com centro em $B$ e raio igual a $b$ (metade de $AD$ ), cortar com um arco de circunferência a referida perpendicular no ponto $H$ , do lado de $AB$ oposto ao retângulo $ABCD$ . Unir $H$ a $F$ e, a partir de $B$ , traçar a reta $BI$ paralela a $HF$ . A concóide tem $H$ como polo, $BI$ como reta base e uma distância igual a $b$ .

A concóide assim descrita encontra a reta $AB$ num ponto $K$ , e as duas retas $AB$ e $BI$ determinam no segmento $HK$ um comprimento $MK=b$ .

Sendo $L$ o ponto de encontro da reta $CK$ com a reta $AD$ , mostra-se que os dois segmentos $BK$ e $DL$ são as duas médias proporcionais procuradas. Com efeito, definindo $BK=x$ e $DL=y$ , em consequência das construções realizadas, tem-se que:

HG={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}

GK=a+x

E, portanto, ao unir $H$ a $K$ :

HK={\sqrt {HG^{2}+GK^{2}}}={\sqrt {b^{2}-a^{2}+(a+x)^{2}}}={\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}

Mas, dos triângulos semelhantes $BMK$ e $FHK$ , deduz-se que $FK:BK=HK:MK$ . Observando que $MK=b$ e que $FK=4a+x$ , e substituindo na proporção anterior, tem-se que:

{\frac {4a+x}{x}}={\frac {\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}{b}}

A partir daqui, elevando ao quadrado, obtém-se:

{\frac {16a^{2}+8ax+x^{2}}{x^{2}}}={\frac {b^{2}+2ax+x^{2}}{b^{2}}}

E, eliminando os denominadores:

16a^{2}b^{2}+8ab^{2}x+b^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}+x^{4}+2ax^{3}

Ao operar e simplificar o resultado, chega-se a:

x^{4}+2ax^{3}-8ab^{2}x-16a^{2}b^{2}=0

Ou seja:

x^{3}(x+2a)-8ab^{2}(x+2a)=0

A partir do qual:

(x^{3}-8ab^{2})(x+2a)=0

E, sendo $x+2a$ diferente de zero (uma vez que $x$ e $2a$ são medidas de segmentos), resulta necessariamente que:

x^{3}-8ab^{2}=0

Isto é:

x^{3}=2a(2b)^{2}

Da semelhança dos triângulos $LDC$ e $BCK$ , tem-se que $2a:y=x:2b$ e, portanto:

xy=4ab

O que permite escrever:

y={\frac {4ab}{x}}

Elevando ao cubo:

y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{x^{3}}}

Mas $x^{3}=2a(2b)^{2}$ , portanto:

y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{2^{3}ab^{2}}}

Simplificando, obtém-se:

y^{3}=2b(2a)^{2}

Então:

{\begin{cases}xy=4ab\\x^{3}=2a(2b)^{2}\\y^{3}=2b(2a)^{2}\end{cases}}

A terceira e a primeira igualdades, divididas membro a membro, dão:

(1)\quad {\frac {y^{2}}{x}}=2a\implies y^{2}=2ax

Por sua vez, a divisão do segundo pelo primeiro membro dá:

(2)\quad {\frac {x^{2}}{y}}=2b\implies x^{2}=2by

Finalmente, resulta:

{\frac {2a}{y}}={\frac {y}{x}}={\frac {x}{2b}}

Em particular, se $2a=L$ e $b=L$ , $y$ corresponde à aresta do cubo de volume duplo (relativamente ao cubo de aresta $L$ ). De facto, de (1) e (2) segue-se:

{\frac {y^{4}}{4a^{2}}}=2by

E, portanto:

y^{3}=8a^{2}b

Substituindo os valores de $a$ e $b$ :

y^{3}=2L^{3}

Extraindo a raiz cúbica:

y=L{\sqrt[{3}]{2}}

E, se $L=1$ :

y={\sqrt[{3}]{2}}

.

Ver também

Caracol de Pascal

Referências

↑ Antonio Nevot Luna (2007). Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar (em espanhol). [S.l.]: Ministerio de Educación. p. 184. 368 páginas. ISBN 9788436945416. Consultado em 7 de janeiro de 2026
↑ Real Academia Española. «Concoide». Diccionario de la lengua española 23.ª ed.
↑ Weisstein, Eric W. «Concoide de Nicomedes». MathWorld (em inglês)
↑ Robert FERRÉOL; Jacques MANDONNET (2017). «CONCHOID OF NICOMEDES». mathcurve (em inglês). Consultado em 7 de janeiro de 2026
↑ René Descartes (1824). «La Géométrie». In: Victor Cousin. Œuvres de Descartes. Tome V. Paris: F. G. Levrault. pp. 311–428
↑ Juana Contreras; Claudio del Pino. «El problema de la Duplicación del Cubo» (PDF). Revista del Instituto de Matemática y Física (em espanhol). Universidad de Talca: Instituto de Matemática y Física

Ligações externas

[ANL-1] Antonio Nevot Luna (2007). Dibujo técnico y matemáticas: una consideración interdisciplinar (em espanhol). [S.l.]: Ministerio de Educación. p. 184. 368 páginas. ISBN 9788436945416. Consultado em 7 de janeiro de 2026

[2] Real Academia Española. «Concoide». Diccionario de la lengua española 23.ª ed.

[MATHW-3] Weisstein, Eric W. «Concoide de Nicomedes». MathWorld (em inglês)

[MATHC-4] Robert FERRÉOL; Jacques MANDONNET (2017). «CONCHOID OF NICOMEDES». mathcurve (em inglês). Consultado em 7 de janeiro de 2026

[5] René Descartes (1824). «La Géométrie». In: Victor Cousin. Œuvres de Descartes. Tome V. Paris: F. G. Levrault. pp. 311–428

[6] Juana Contreras; Claudio del Pino. «El problema de la Duplicación del Cubo» (PDF). Revista del Instituto de Matemática y Física (em espanhol). Universidad de Talca: Instituto de Matemática y Física

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