Otimização/Situação inicial

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, ao longo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função ${\displaystyle f}$ é equivalente a achar o mínimo da função ${\displaystyle -f.}$

Sejam ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} .}$ Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o ${\displaystyle \operatorname {min} \;f(x),\forall \;x\in D.}$

Seja ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} .}$ Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o ${\displaystyle \operatorname {max} \;f(x),\forall \;x\in D.}$

Seja ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} .}$ Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o ${\displaystyle \operatorname {min} \;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}).}$

Seja ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ e ${\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} .}$ Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o ${\displaystyle \operatorname {max} \;f(x),\forall \;x\in D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}).}$

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R} ,}$ tais que ${\displaystyle D_{2}\subset D_{1}.}$

Mostrar que ${\displaystyle \inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x).}$

Afirmação: ${\displaystyle f(y)=\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(y)\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}}$ e ${\displaystyle f(z)=\inf _{x\in D_{2}}f(x)\Rightarrow f(z)\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.}$

Prova1: Tome ${\displaystyle t\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow t\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(t),\forall \;t\in D_{2}\Rightarrow f(y)\leq f(z).}$

Prova2: Suponha por contradição que ${\displaystyle \inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x)\Rightarrow f(z)<f(y).}$ Mas ${\displaystyle z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow z\in D_{1}\Rightarrow f(y)\leq f(z).}$ Logo ${\displaystyle f(z)<f(y)\leq f(z).}$ Contradição! A contradição foi supor que ${\displaystyle \inf _{x\in D_{2}}f(x)<\inf _{x\in D_{1}}f(x).}$

Portanto, ${\displaystyle \inf _{x\in D_{1}}f(x)\leq \inf _{x\in D_{2}}f(x).}$

Seja ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ;D_{1},D_{2}\subset \mathbb {R} ,}$ tais que ${\displaystyle {\bar {x}}\in D_{2}\subset D_{1}.}$ Seja ${\displaystyle f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{1}.}$

Mostrar que ${\displaystyle f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.}$

Suponha por contradição que ${\displaystyle \exists \;z\in D_{2}}$ tal que ${\displaystyle f(z)<f({\bar {x}}).}$ Por ${\displaystyle z\in D_{2}\subset D_{1}\Rightarrow f({\bar {x}})\leq f(z).}$ Logo ${\displaystyle f(z)<f({\bar {x}})\leq f(z).}$ Contradição! A contradição foi supor que ${\displaystyle \exists \;z\in D_{2}}$ tal que ${\displaystyle f(z)<f({\bar {x}}).}$ Portanto ${\displaystyle f({\bar {x}})\leq f(x),\forall \;x\in D_{2}.}$