Otimização/Elementos de análise convexa

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Convexo

Definição

Dizemos que um conjunto $D\in \mathbb {R} ^{n}$ é convexo quando $z(\alpha )=(1-\alpha )x+\alpha y\in D,\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$ , onde $z(\alpha )\;$ é a combinação convexa de $x,y\;$ .

Teorema

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n},f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ um conjunto convexo e uma função diferenciável em ${\bar {x}}\in D$ . Seja também ${\bar {x}}\in$ $M(f,D\cap B_{\epsilon }({\bar {x}}))\;$ .

$\langle f'({\bar {x}}),x-{\bar {x}}\rangle \geq 0,\forall \;x\in D$

Função Convexa

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\subset \mathbb {R} ^{n}$

Definição

Dizemos que uma função f é convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y),\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$ .

Definição

Dizemos que uma função f é estritamente convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)<(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y),\forall \;x,y\in D,x\not =y,\forall \;\alpha \in \;]0,1[$ .

Definição

Dizemos que uma função f é $\lambda \;-$ fortemente convexa se $f((1-\alpha )x+\alpha y)\leq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)-\lambda \alpha (1-\alpha )\|x-y\|^{2},\forall \;x,y\in D,\forall \;\alpha \in [0,1]$ .

Definição

Dizemos que o epígrafo da função f é $E_{f}=\{(x,c)/x\in D,c\in \mathbb {R} ,f(x)\leq c\}$ .

Teorema

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\in \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo.

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo

Teorema da minimização convexa

Seja $f:D\rightarrow \mathbb {R} ,D\in \mathbb {R} ^{n}$ ambos convexos.

Mostrar que se ${\bar {x}}\in$ $M(f,B_{\epsilon }({\bar {x}}))\;$ $\Rightarrow {\bar {x}}\in$ $M(f,D)\;$

Mostrar que $M(f,D)\;$ é convexo

Mostrar que se f é estritamente convexa, então $\#M(f,D))\;$ $\leq 1$ é convexo

Função Concava

Definição

Uma função $f\;$ é chamada concava se $(-f)\;$ é convexa em $D\;$ convexa, onde $f:D\rightarrow \mathbb {R} \;{\mbox{e}}\;D\subset \mathbb {R} ^{n}$

Convexo

Teorema

⟨ f ′ ( x ¯ ) , x − x ¯ ⟩ ≥ 0 , ∀ x ∈ D {\displaystyle \langle f'({\bar {x}}),x-{\bar {x}}\rangle \geq 0,\forall \;x\in D}

Função Convexa

Teorema

Mostrar que f é convexo ⇔ E f {\displaystyle \Leftrightarrow E_{f}\;} é convexo

Teorema da minimização convexa

Mostrar que se x ¯ ∈ {\displaystyle {\bar {x}}\in } M ( f , B ϵ ( x ¯ ) ) {\displaystyle M(f,B_{\epsilon }({\bar {x}}))\;} ⇒ x ¯ ∈ {\displaystyle \Rightarrow {\bar {x}}\in } M ( f , D ) {\displaystyle M(f,D)\;}

Mostrar que M ( f , D ) {\displaystyle M(f,D)\;} é convexo

Mostrar que se f é estritamente convexa, então # M ( f , D ) ) {\displaystyle \#M(f,D))\;} ≤ 1 {\displaystyle \leq 1} é convexo

Função Concava

$\langle f'({\bar {x}}),x-{\bar {x}}\rangle \geq 0,\forall \;x\in D$

Mostrar que f é convexo $\Leftrightarrow E_{f}\;$ é convexo

Mostrar que se ${\bar {x}}\in$ $M(f,B_{\epsilon }({\bar {x}}))\;$ $\Rightarrow {\bar {x}}\in$ $M(f,D)\;$

Mostrar que $M(f,D)\;$ é convexo

Mostrar que se f é estritamente convexa, então $\#M(f,D))\;$ $\leq 1$ é convexo