Otimização/Conjuntos convexos

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Intersecção de conjuntos convexos é convexo

Sejam $D_{j}\subset \mathbb {R} ^{n},j\in I_{n},$ conjuntos convexos, onde $I_{n}=\{k\in \mathbb {N} /1\leq k\leq n,n\in \mathbb {N} \}$

Seja $D=\cap _{j\in I_{n}}D_{j}$ . Para quaisquer $x,y\in D$ temos que $x,y\in D_{j}$ para qualquer $j\in I_{n}$ .

Como todo $D_{j}$ é convexo, para quaisquer $j\in I_{n}$ e $\lambda \in \left[0,1\right]$ , $\lambda x+(1-\lambda )y\in D_{j}\implies \lambda x+(1-\lambda )y\in D$

Conjunto Poliedral

Definição

Um conjunto é poliedral se é a intersecção finita de hiperplanos e semi-espaços

Um conjunto poliedral em $\mathbb {R} ^{n}$ é convexo

O fecho e o interior de um conjunto convexo são convexos

A soma de convexos fechados é convexo e fechado

Sejam $D_{j}\subset \mathbb {R} ^{n},j=1,2$ , conjuntos convexos e fechados. Um deles é limitado.

Mostrar que $\sum _{i=1}^{2}D_{j}$ é um conjunto convexo e fechado

Combinação convexa de p pontos

Definição

Seja $x^{i}\in \mathbb {R} ^{n},\alpha _{i}\in [0,1],i=1,...,p;\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}=1$ . A combinação convexa dos $x^{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ é o ponto $\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\cdot x^{i}$

Teorema da combinação convexa

Um conjunto $D\in \mathbb {R} ^{n}$ é convexo se, e somente se, a combinação convexa $\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}x_{i}\in D$ , $\forall p\in \mathbb {N} ,x^{i}\in D\;\land \alpha _{i}\in [0,1],i=1,...,p;\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}=1$ ,

Desigualdade de Jensen

Sejam $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto convexo e $f:D\rightarrow \mathbb {R}$ uma função convexa, $\forall p\in \mathbb {N} ,x^{i}\in D\;\land \alpha _{i}\in \mathbb {R} _{+},i=1,...,p;\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}=1$

Mostrar que $f(\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}x_{i})\leq \sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}f(x_{i})$

Teorema de Carathéodory

Seja $x\in \mathbb {R} ^{n}$ uma combinação convexa de pontos do conjunto $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ .

Mostrar que $\exists x_{i}\in D\land \alpha _{i}\in \mathbb {R} _{+},i=1,...,n+1;x=\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}x_{i},\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}=1$

Fecho convexo

Definição

O fecho convexa de um conjunto qualquer D é o menor conjunto convexo que contem D e simbolizado por conv D.

Definição

O conjunto de todas as combinações convexas de pontos de D, simbolizaremos por $combD=\{x\in \mathbb {R} ^{n};x=\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}x_{i},\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}=1,x_{i}\in D\land \alpha _{i}\in \mathbb {R} _{+},i=1,...,p;p\in \mathbb {N} \}$ .

Corolário de um fecho convexo

Se $D\subset \mathbb {R} ^{n}$

Mostrar que conv D = comb D

Corolário da compacidade do conv D

Seja $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ compacto