Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C4

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Um foguete, cuja massa inicial é de 400 kg, é lançado verticalmente, consumindo combustível a uma taxa de 5 kg/s e ejetando gás a 3500 m/s. Calcule a aceleração em t = 0 e a velocidade em t = 10s. A resistência do ar pode ser desprezada.

Tomemos o foguete como o volume de controle C e apliquemos a equação de conservação do momento, com a correção necessária devido ao fato de o referencial usado está acelerado em relação à Terra:

${\displaystyle {\vec {F}}\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho {\vec {v}}_{m}dV\;+\;\int _{S}\rho {\vec {v}}_{m}({\vec {v}}_{m}\cdot d{\vec {S}})\;+\;\int _{C}{\vec {a}}\rho dV}$

onde a é a aceleração do foguete com relação à Terra e v_m é a velocidade do fluido com relação ao foguete. A força externa aplicada resume-se ao peso do foguete; a velocidade v_m é constante e a aceleração a, uniforme sobre o corpo, por isso

${\displaystyle -\;mg\;{\vec {u}}_{y}\;=\;0\;-\;v_{m}\left(\int _{S}\rho v_{m}dS\right){\vec {u}}_{y}\;+\;a\;\left(\int _{C}\rho dV\right){\vec {u}}_{y}}$

pois a velocidade do fluxo dirige-se para fora do volume e na direção negativa do eixo Y.

Mas, de acordo com a equação de continuidade:

${\displaystyle 0\;=\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}\rho dV\;+\;\int _{S}\rho ({\vec {v}}_{m}\cdot d{\vec {S}})\Rightarrow \;\;\;{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{C}dm\;=\;-\;\int _{S}\rho v_{m}dS}$

${\displaystyle {\frac {\partial m}{\partial t}}\;=\;-\;\int _{S}\rho v_{m}dS}$

Assim,

${\displaystyle -mg\;=\;0\;+\;v_{m}{\frac {dm}{dt}}\;+\;a\int _{C}\rho dV\Rightarrow \;\;\;-mg\;=\;v_{m}{\frac {dm}{dt}}\;+\;am}$

${\displaystyle -(m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t)g\;=\;v_{m}{\frac {dm}{dt}}\;+\;a(m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t)\Rightarrow \;\;\;a\;=\;-\;{\frac {v_{m}{\frac {dm}{dt}}}{m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t}}\;-\;g}$

${\displaystyle a(0)\;=\;-\;{\frac {v_{m}{\frac {dm}{dt}}}{m_{0}}}\;-\;g\;=\;-\;{\frac {3500\;m/s(-5\;m/s)}{400\;kg}}\;-\;9.8\;m/s^{2}}$

${\displaystyle \;=\;34\;m/s^{2}}$

Para encontrar a velocidade v_f do foguete, basta integrar a equação

${\displaystyle a\;=\;{\frac {dv_{f}}{dt}}\Rightarrow \;\;\;-\;{\frac {v_{m}{\frac {dm}{dt}}}{m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t}}\;-\;g\;=\;{\frac {dv_{f}}{dt}}}$

${\displaystyle dv_{f}\;=\;-\;{\frac {v_{m}{\frac {dm}{dt}}\;dt}{m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t}}\;-\;gdt}$

${\displaystyle \int _{0}^{v_{f}}dv_{f}\;=\;-\int _{0}^{t}{\frac {v_{m}{\frac {dm}{dt}}\;dt}{m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t}}\;-\;\int _{0}^{t}gdt}$

${\displaystyle v_{f}\;=\;-\;v_{m}\cdot \ln \left.\left(m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t\right)\right|_{0}^{t}\;-\;gt\;=\;-\;v_{m}\ln \left({\frac {m_{0}\;+\;{\frac {dm}{dt}}\;t}{m_{0}}}\right)\;-\;gt}$

${\displaystyle v_{f}(10)\;=\;-\;3500\;m/s\cdot \ln \left({\frac {400\;kg\;-\;5\;kg/s\cdot 10\;s}{400\;kg}}\right)\;-\;9.8\;m/s^{2}\cdot 10\;s}$

${\displaystyle \;=\;370\;m/s}$