Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/B1

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Calcular a pressão no oceano a uma profundidade de 1500 m, considerando a água salgada como um líquido compressível com ε = 21.000 kg/cm² e densidade absoluta de 1025 kg/m³ na superfície.

ε = 21.000 kg/cm²

Da definição de módulo de elasticidade volumétrica

${\displaystyle \epsilon \;=\;-{\frac {dp}{({\frac {dV}{V}})}}\Rightarrow \;\;\;{\frac {dV}{V}}\;=\;-{\frac {1}{\epsilon }}\;dp}$

Como equação de estado, utilizemos a relação ρV = m = constante. Assim, d(ρV) = ρdV + Vdρ = 0, e

${\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;-{\frac {dV}{V}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dp}$

Integrando, teremos

${\displaystyle \int {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\int dp\Rightarrow \;\;\;p_{f}\;=\;p_{0}+\epsilon \ln \left({\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\right)}$

Da equação básica

${\displaystyle {\frac {dp}{dz}}\;=\;-\rho g}$

tiramos que dp = - ρdz = ρdh, pois vamos considerar h como uma profundidade (h = -z). Assim,

${\displaystyle {\frac {d\rho }{\rho }}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dp\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\rho dh\Rightarrow \;\;\;{\frac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\;dh}$

Integrando, teremos

${\displaystyle \int {\frac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}\int dh\Rightarrow \;\;\;\left({\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\rho _{f}}}\right)\;=\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{f}}}\;=\;{\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})\Rightarrow \;\;\;\ \rho _{f}\;=\;{\frac {1}{{\frac {1}{\rho _{0}}}\;-\;{\frac {1}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}}$

${\displaystyle {\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\;=\;{\frac {1}{1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}}$

E assim

${\displaystyle p_{f}\;=\;p_{0}+\epsilon \ln \left({\frac {\rho _{f}}{\rho _{0}}}\right)\;=\;p_{0}\;+\;\epsilon \ln \left({\frac {1}{1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})}}\right)}$

${\displaystyle p_{f}\;=\;p_{0}\;-\;\epsilon \ln \left(1\;-\;{\frac {\rho _{0}}{\epsilon }}(h_{f}\;-\;h_{0})\right)}$

${\displaystyle p_{f}\;=\;0\;-\;21000\;kg/cm^{2}\ln \left(1\;-\;{\frac {1025\;kg/m^{3}}{21000\;kg/cm^{2}}}(1500\;m\;-\;0)\right)\;=\;\;-\;210000000\;kg/m^{2}\ln \left(1\;-\;{\frac {1025\;kg/m^{3}}{210000000\;kg/cm^{2}}}\cdot 1500\;m\right)}$

${\displaystyle \;=\;1540000\;kg/m^{2}\;=\;154\;kg/cm^{2}}$ (pressão manométrica)