Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/A2

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Um cilindro contém 356 dm³ de ar a 49 °C a uma pressão absoluta de 2.8 kg/cm². O ar é comprimido até seu volume ser de 70 dm³.

• Supondo que a compressão foi isotérmica, encontrar a pressão final e o módulo de elasticidade volumétrico.

• Supondo que a compressão foi adiabática, encontrar a pressão final, a temperatura final e o módulo de elasticidade volumétrico (considere que o valor do coeficiente de dilatação adiabática do ar é 1.40).

k = 1.40

• Compressão isotérmica: Neste caso, podemos escrever

${\displaystyle p_{i}V_{i}\;=\;p_{f1}V_{f}\Rightarrow \;\;\;p_{f1}\;=\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}}$

${\displaystyle p_{f1}\;=\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}}$

${\displaystyle \epsilon _{1}\;=\;-\;{\frac {\Delta p_{1}}{\frac {\Delta V}{V}}}\;=\;{\frac {p_{i}\;-\;p_{f1}}{\frac {V_{f}\;-\;V_{i}}{V_{i}}}}\;=\;{\frac {p_{i}\;-\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}}{{\frac {V_{f}}{V_{i}}}\;-\;1}}\;=\;p_{i}\;{\frac {1\;-\;{\frac {V_{i}}{V_{f}}}}{{\frac {V_{f}}{V_{i}}}\;-\;1}}\;=\;{p_{f1}}}$

Assim

${\displaystyle \epsilon _{1}\;=\;p_{f1}\;=\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}\;=\;{\frac {2.8\;kg/cm^{2}\cdot 356\;dm^{3}}{70\;dm^{3}}}\;=\;{\frac {28000\;kg/m^{2}\cdot 0.356\;m^{3}}{0.07\;m^{3}}}}$

${\displaystyle \;=\;142400\;kg/m^{2}\;=\;14.24\;kg/cm^{2}}$

• Compressão adiabática: Neste caso, podemos escrever

${\displaystyle p_{i}V_{i}^{k}\;=\;p_{f2}V_{f}^{k}\Rightarrow \;\;\;p_{f2}\;=\;p_{i}({\frac {V_{i}}{V_{f}}})^{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{2}\;=\;p_{f2}\;=\;p_{i}({\frac {V_{i}}{V_{f}}})^{k}\;=\;28000\;kg/m^{2}\;\left({\frac {0.356\;m^{3}}{0.07\;m^{3}}}\right)^{1.4}}$

${\displaystyle \;=\;273000\;kg/m^{2}\;=\;27.3\;kg/cm^{2}}$

A temperatura final é dada por

${\displaystyle T_{f2}\;=\;T_{i}\left({\frac {p_{f2}}{p_{i}}}\right)^{\frac {k\;-\;1}{k}}\;=\;49\;^{o}C\;\cdot \;\left({\frac {273000\;kg/m^{2}}{2.8\;kg/cm^{2}}}\right)^{\frac {1.4\;-\;1}{1.4}}\;=\;(49\;+\;273)K\;\cdot \;\left({\frac {273000\;kg/m^{2}}{28000\;kg/m^{2}}}\right)^{\frac {1.4\;-\;1}{1.4}}}$

${\displaystyle \;=\;617\;K\;=\;344\;^{o}C}$