Matemática elementar/Expressões algébricas

Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.

A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.

O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.

A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,\!}$.

Exemplos:

• ${\displaystyle (8x+a)^{2}=64x^{2}+16ax+a^{2}\,\!}$
• ${\displaystyle \left({\frac {4x}{5y}}-z\right)^{2}={\frac {16x^{2}}{25y^{2}}}-{\frac {8xz}{5y}}+z^{2}}$

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\,\!}$ 

Exemplos:

• ${\displaystyle (1-2x)^{2}=1-4x+4x^{2}\,\!}$
• ${\displaystyle \left({\frac {3x}{4y}}-n\right)^{2}={\frac {9x^{2}}{16y^{2}}}-{\frac {6xn}{4y}}+n^{2}}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!}$

Exemplos:

• ${\displaystyle (m+3n)^{3}=m^{3}+9m^{2}n+27mn^{2}+27n^{3}\,\!}$
• ${\displaystyle (x+2)^{3}=x^{3}+6x^{2}+12x+8\,\!}$

${\displaystyle (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,\!}$

Exemplos:

• ${\displaystyle (b-2c)^{3}=b^{3}-6b^{2}c+12bc^{2}-8c^{3}\,\!}$
• ${\displaystyle \left({\frac {x}{y}}-{\frac {a}{b}}\right)^{3}={\frac {x^{3}}{y^{3}}}-{\frac {3ax^{2}}{by^{2}}}+{\frac {3a^{2}x}{b^{2}y}}-{\frac {a^{3}}{b^{3}}}}$

• Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Produtos notáveis/Exercícios.

Considere o polinômio ${\displaystyle 14ab+7bc}$, seu fator comum em evidência é ${\displaystyle 7b}$, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência ${\displaystyle 14ab:7b=2a}$ e ${\displaystyle 7bc:7b=c}$, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de ${\displaystyle 14ab+7bc=7b.(2a+c)}$. O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.

Outros exemplos:

• ${\displaystyle 15x+9y=3.(5x+3y)}$
• ${\displaystyle 50-10y=10.(5-y)}$

Observe o polinômio ${\displaystyle ab-b^{2}+2a-2b}$. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:

${\displaystyle ab-b^{2}+2a-2b=(ab-b^{2})+(2a-2b)}$, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

${\displaystyle ab-b^{2}=b(a-b)}$

${\displaystyle 2a-2b=2(a-b)}$, obtemos a fatoração de ${\displaystyle ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)}$, nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: ${\displaystyle (a-b)(b+2)}$. A forma fatorada de ${\displaystyle ab-b^{2}+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)}$.

Outro exemplo:

${\displaystyle a^{4}-a^{5}+a^{2}b-a^{3}b=a^{2}(a^{2}-a^{3})+b(a^{2}-a^{3})=(a^{2}-a^{3})(a^{2}+b)}$

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y).(x-y)\,\!}$

Considere o polinômio ${\displaystyle m^{2}-n^{2}}$, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}}}=m}$ menos a raiz quadrada do segundo termo ${\displaystyle -{\sqrt {n^{2}}}=-n}$, logo temos ${\displaystyle {\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}=m-n}$, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: ${\displaystyle (m-n).(m+n)}$, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: ${\displaystyle m^{2}-n^{2}=({\sqrt {m^{2}}}-{\sqrt {n^{2}}}).({\sqrt {m^{2}}}+{\sqrt {n^{2}}})=(m-n).(m+n)}$, ou simplesmente ${\displaystyle m^{2}-n^{2}=(m-n).(m+n)}$.

Outros exemplos:

• ${\displaystyle (n+8)^{2}-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]}$
• ${\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a^{2}+b^{2}).(a^{2}-b^{2})=(a-b).(a+b).(a^{2}+b^{2})}$

Considere o polinômio ${\displaystyle 4x^{2}+4xy+y^{2}}$, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa ${\displaystyle (2x+y)^{2}}$, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?

Ainda considerando o polinômio ${\displaystyle 4x^{2}+4xy+y^{2}}$, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo ${\displaystyle {\sqrt {4x^{2}}}=2x}$ e a raiz quadrada do terceiro termo ${\displaystyle {\sqrt {y^{2}}}=y}$, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (${\displaystyle 4xy}$): ${\displaystyle 2.2x.y=4xy}$, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é ${\displaystyle 4x^{2}+4xy+y^{2}=(2x+y)^{2}}$.

Outro exemplo:

${\displaystyle x^{2}-8xy+16y^{2}={\sqrt {x^{2}}}-{\sqrt {16y^{2}}}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^{2}}$ ou ${\displaystyle x^{2}-8xy+16y^{2}=(x-4y)^{2}}$

As expressões usadas são:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y).(x^{2}-xy+y^{2})\,\!}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})\,\!}$

Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:

${\displaystyle (a+b).(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}}$, tendo este cálculo como base, podemos dizer que ${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})}$, logo, a fatoração do polinômio ${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$ é igual à raiz cúbica do primeiro termo ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{3}}}=a}$, mais a raiz cúbica do segundo termo ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{b^{3}}}=b}$ vezes o quadrado do primeiro termo ${\displaystyle a^{2}}$, o produto dos dois termos com o sinal oposto ${\displaystyle -ab}$ mais o quadrado do segundo termo ${\displaystyle b^{2}}$, formando:${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b).(a^{2}-ab+b^{2})}$.

Outros exemplos:

• ${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y).(x^{2}+xy+y^{2})}$
• ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}=\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)}$

Observe o trinômio ${\displaystyle x^{2}-2x-35}$, cuja forma fatorada é ${\displaystyle (x-7).(x+5)}$, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:

• ${\displaystyle a^{2}+8a+12=(a+2).(a+6)}$
• ${\displaystyle x^{2}-15x-100=(x-20).(x+5)}$
• ${\displaystyle y^{2}+y-72=(y+9)(y-8)}$

A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio ${\displaystyle x^{4}-y^{4}}$, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})}$, note que o primeiro termo da fatoração [${\displaystyle (x^{2}-y^{2})}$] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: ${\displaystyle x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2}).(x^{2}+y^{2})=(x-y).(x+y).(x^{2}+y^{2})}$, assim, temos a fatoração completa do polinômio ${\displaystyle x^{4}-y^{4}}$.

Outros exemplos:

• ${\displaystyle {\frac {x^{6}}{64}}-{\frac {y^{6}}{729}}=\left({\frac {x^{3}}{8}}-{\frac {y^{3}}{27}}\right).\left({\frac {x^{3}}{8}}+{\frac {y^{3}}{27}}\right)=\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right].\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{3}}\right).\left({\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {xy}{6}}+{\frac {y^{2}}{9}}\right)\right]}$
• ${\displaystyle 3x^{2}-6x+3=3.(x^{2}-2x+1)=3.(x-1)^{2}}$
• ${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}=(a+b)^{2}-c^{2}=(a+b-c)(a+b+c)}$

Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;

Fatore a expressão algébrica: ${\displaystyle x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}}$.

${\displaystyle (x^{4}+4x^{2}y^{2}+16y^{4}+4x^{2}y^{2})-4x^{2}y^{2}=}$

${\displaystyle x^{4}+8x^{2}y^{2}+16y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+4y^{2}+2xy)(x^{2}+4y^{2}-2xy)}$

Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo ${\displaystyle 4x^{2}y^{2}}$, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.

Outro exemplo:

${\displaystyle x^{5}+x+1\,}$

Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se ${\displaystyle x^{2}\,}$, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:

${\displaystyle x^{5}+x+1=x^{5}-x^{2}+x^{2}+x+1=x^{2}(x^{3}-1)+x^{2}+x+1=x^{2}(x-1)(x^{2}+x+1)+1(x^{2}+x+1)=(x^{2}(x-1)+1)(x^{2}+x+1)=(x^{3}-x^{2}+1)(x^{2}+x+1)\,}$

Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy\,\!}$

Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.

• Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios.

Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.

• Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
• Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?

O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:

• ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
• Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.

Diferença entre dois quadrados.

Trinômio quadrado perfeito.

Soma e produto

• Ver Matemática elementar/Polinômios/Exercícios

15x²-15xy²=15x(x-y²)

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