Cálculo (Volume 3)/Séries de termos positivos

${\displaystyle \sum a_{n};\,a_{n}>0,\forall n\,\!}$

Seja ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ uma série de termos positivos. Seja ${\displaystyle f(x)\,\!}$ uma função positiva, contínua e decrescente para ${\displaystyle x\geq 1\,\!}$, e tal que ${\displaystyle f(n)=a_{n}\,\!}$, para ${\displaystyle n\geq 1\,\!}$. Então a série ${\displaystyle \sum a_{n}=\sum f(x)=f(1)+f(2)+\ldots \,\!}$:

• Converge, se ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!}$ convergir;
• Diverge, se ${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }f(x)\,dx\,\!}$ divergir.

Sejam ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ e ${\displaystyle \sum b_{n}\,\!}$, ${\displaystyle a_{n},b_{n}\,\!}$ > ${\displaystyle 0\,\!}$, tais que ${\displaystyle a_{n}\geq b_{n}\,\!}$. Então:

• Se ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ converge, então ${\displaystyle \sum b_{n}\,\!}$ converge
• Se ${\displaystyle \sum b_{n}\,\!}$ diverge, então ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ diverge

Sejam ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ e ${\displaystyle \sum b_{n}\,\!}$, ${\displaystyle a_{n},b_{n}\,\!}$ > ${\displaystyle 0\,\!}$, tais que ${\displaystyle a_{n}\geq b_{n}\,\!}$. Se:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=k,k\neq 0\,\!}$, então as séries têm o mesmo comportamento
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0\,\!}$, então a série ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ converge se a série ${\displaystyle \sum b_{n}\,\!}$ converge
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty \,\!}$, então a série ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ diverge se a série ${\displaystyle \sum b_{n}\,\!}$ diverge

Uma série do tipo ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{p}}}\,\!}$ converge se p > 1 e diverge se ${\displaystyle p\leq 1\,\!}$. Essas séries são conhecidas como p-séries, e são comumente usadas em testes de comparação.

Seja ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ uma série, onde ${\displaystyle a_{n}\,\!}$ > ${\displaystyle 0\,\!}$. Então:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=k\,\!}$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir

Seja ${\displaystyle \sum a_{n}\,\!}$ uma série, onde ${\displaystyle a_{n}\,\!}$ > ${\displaystyle 0\,\!}$. Então:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=k\,\!}$

• Se k < 1, a série converge
• Se k > 1, a série diverge
• Se k = 1, nada se pode concluir