Cálculo (Volume 3)/Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\ldots }$ (série de potências de ${\displaystyle x-a}$), em que a e a_n são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, ${\displaystyle D_{c}}$, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}}$ com raio de convergência ${\displaystyle r}$, isto é, a série converge no intervalo aberto ${\displaystyle (a-r,a+r)}$. Então, chamando ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}}$ de ${\displaystyle f(x)}$, temos:

• ${\displaystyle f(x)}$ é contínua em ${\displaystyle (a-r,a+r)}$
• ${\displaystyle \exists f'(x)}$ tal que ${\displaystyle f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}}$
• ${\displaystyle \exists H(x)}$ tal que ${\displaystyle H(x)=\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-a)^{n+1}}{n+1}}}$

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}\quad {\mbox{se }}|x|}$ < ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{x}}$

Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.