Análise real/tório

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}$". Logo usamos símbolos ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ e ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}}$ para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}}$ e ${\displaystyle \prod _{k=1}^{1}=a_{1}}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}}$ e ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}\prod _{k=1}^{n-1}a_{k}}$

Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

• A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se ${\displaystyle \{a_{k}:1\leq k\leq n\}=\{b_{k}:1\leq k\leq n\},}$ então ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ e ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=\prod _{k=1}^{n}b_{k}}$

• • Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})}$ e ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}\prod _{k=1}^{n}b_{k}=\prod _{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})}$

• • Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}a_{k}+\sum _{k=1}^{1}b_{k}=a_{k}+b_{k}=\sum _{k=1}^{1}(a_{k}+b_{k}).}$

Agora vamos supor que ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k}).}$ Logo ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+b_{n}}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+a_{n}+b_{n}}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k})+(a_{n}+b_{n})}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}).}$

A prova para o produto segue-se similarmente.

• ${\displaystyle c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}}$

• • Prova: Outra indução. Para ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle c\sum _{k=1}^{1}a_{k}=ca_{1}=\sum _{k=1}^{1}ca_{k}.}$ Vamos supor que seja verdade para n-1. logo ${\displaystyle c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=c(\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}ca_{k}+ca_{n}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}.}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{l})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}a_{k}b_{l}}$

• • Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})}$${\displaystyle =(\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})+a_{n})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})+a_{n}\sum _{l=1}^{m}(b_{k})}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})+\sum _{l=1}^{m}(a_{n}b_{k})}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})}$

Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.

• Seja uma ${\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\subset ...\subset X_{n}\subset ...}$ sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados ${\displaystyle X_{n}=[x_{n},y_{n}]\;.}$
  • ${\displaystyle X=\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} ;\;a\in X_{n},\;\forall \;n\in \mathbb {N} }$
  • De fato temos que ${\displaystyle X\;=[x,y],onde\;x=sup\;x_{n},y=inf\;y_{n}}$